Questão 1 (3,0 pontos)
Calcule o Limite:
lim (x, y) (0,0) sin (x^2-y^2)x+y

Passo 1

O enunciado pede o limite em duas variáveis
lim(x,y)to(0,0) sinl(x^2-y^2r)x+y
O conteúdo principal é usar a fatoração de diferença de quadrados e o limite fundamental
limuto0sin uu=1.

Passo 2

Fatoramos a diferença de quadrados dentro do seno:
x^2-y^2=(x-y)(x+y)

Passo 3

Definimos u=(x-y)(x+y). Então reescrevemos a fração como
sinl(x^2-y^2r)x+y =sin(u)x+y =sin(u)u,ux+y =sin(u)u,(x-y)

Passo 4

Ao levar (x,y)to(0,0), temos uto0 e, pelo limite fundamental, sin(u)/uto1. Além disso (x-y)to0. Assim o produto
sin(u)u,(x-y)
tende a 1cdot0=0.

Resposta

0

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