Questão 1 (3,0 pontos)
Calcule o Limite:
lim (x, y) (0,0) x^6-y^6x-y

Passo 1

O enunciado pede o limite de uma função de duas variáveis
lim(x,y)to(0,0) x^6 - y^6x - y.
O conteúdo principal é manipular expressões algébricas em várias variáveis e usar fatoração para simplificar a razão antes de avaliar o limite.

Passo 2

Para simplificar o quociente, lembramos a fatoração da diferença de potências:
x^6 - y^6 = (x - y)l(x^5 + x^4y + x^3y^2 + x^2y^3 + xy^4 + y^5r)

Passo 3

Dividindo ambos os lados por (x - y) (quando xneq y) obtemos a forma simplificada da função:
f(x,y) = x^6 - y^6x - y = x^5 + x^4y + x^3y^2 + x^2y^3 + xy^4 + y^5

Passo 4

Como f(x,y) é um polinômio em x e y, ele é contínuo em todo lugar, inclusive arbitrariamente próximo de (0,0). Portanto, o limite é o próprio valor de f em (0,0):
f(0,0) = 0^5 + 0^4cdot0 + 0^3cdot0^2 + 0^2cdot0^3 + 0cdot0^4 + 0^5 = 0

Resposta

0

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