Questão 2 (3,0 pontos)
Mostre que o Limite não existe:
lim (x, y) (infty, infty) x^2y^3

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que não existe o limite
lim(x,y)to(infty,infty)x^2y^3
Estamos lidando com limite em duas variáveis no “infinito”, isto é, com xtoinfty e ytoinfty simultaneamente. Para provar que tal limite não existe, usamos o fato de que, se existisse um valor L, todas as trajetórias que enviam (x,y) para “infinito” teriam de levar a mesma imagem x^2y^3to L.

Passo 2

Escolhemos uma trajetória simples:
y = x
Então, ao aproximar (x,y)to(infty,infty) por y=x, temos
x^2y^3 = x^2x^3 = 1x
Como xtoinfty, resulta
limxtoinfty1x = 0

Passo 3

Agora escolhemos outra trajetória:
x = y^3/2
Nesta parametrização, quando ytoinfty também xtoinfty, e
x^2y^3 = l(y^3/2r)^2y^3 = y^3y^3 = 1
Logo,
limytoinftyx^2y^3 = 1

Passo 4

Observe que pelas duas trajetórias obtivemos limites diferentes: 0 pela reta y=x e 1 pela curva x=y^3/2. Isso impede a existência de um único valor de limite.

Resposta

O limite não existe.

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