Questão 2 (3,0 pontos)
Mostre que o Limite não existe:
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o seguinte limite de função de duas variáveis não existe:
O conteúdo envolve limites em várias variáveis e para provar que o limite não existe vamos comparar valores ao longo de diferentes curvas que passam pela origem.
Passo 2
Escolhemos a família de trajetórias definidas por
onde
é uma constante real (diferente de
, para evitar divisão por zero). Substituindo na expressão, obtemos
Passo 3
Agora fazemos
nessa expressão para obter o limite ao longo da trajetória
:
Passo 4
Para demonstrar que o limite depende de
, escolhemos dois valores distintos de
:
- Se
, então
.
- Se , então
- Se
Como
, o valor do limite varia conforme a trajetória escolhida.
Passo 5
Como o valor do limite depende de
(isto é, do caminho de aproximação à origem), concluímos que o limite em duas variáveis não é único e, portanto, não existe.
Resposta
O limite não existe.