Questão 2 (3,0 pontos)
Mostre que o Limite não existe:
lim (x, y) (0,0) x^2 y e^yx^4-4 y^2

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o seguinte limite de função de duas variáveis não existe:
lim(x,y)to(0,0) x^2y,e^yx^4-4y^2
O conteúdo envolve limites em várias variáveis e para provar que o limite não existe vamos comparar valores ao longo de diferentes curvas que passam pela origem.

Passo 2

Escolhemos a família de trajetórias definidas por
y = kx^2,
onde k é uma constante real (diferente de pm12, para evitar divisão por zero). Substituindo na expressão, obtemos
x^2(kx^2),e^,kx^2x^4-4(kx^2)^2 =k,x^4,e^,kx^2x^4-4k^2x^4 =k,x^4,e^,kx^2x^4(1-4k^2) =k,e^,kx^21-4k^2

Passo 3

Agora fazemos xto0 nessa expressão para obter o limite ao longo da trajetória y=kx^2:
limxto0k,e^,kx^21-4k^2 =k,e^01-4k^2 =k1-4k^2

Passo 4

Para demonstrar que o limite depende de k, escolhemos dois valores distintos de k:
- Se k=0, então k1-4k^2=0.
- Se k=1, então k1-4k^2=11-4=-13
Como 0 neq -tfrac13, o valor do limite varia conforme a trajetória escolhida.

Passo 5

Como o valor do limite depende de k (isto é, do caminho de aproximação à origem), concluímos que o limite em duas variáveis não é único e, portanto, não existe.

Resposta

O limite não existe.

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