Verifique se o conjunto de funç̃oes é Linearmente Dependente (L.D) ou Linearmente lndependentes (L.I).
[y1(x)=-2 e^3 x, y2(x)=3 e^-2 x]

Passo 1

O enunciado dá duas funções
y1(x) = -2e^3x, y2(x) = 3e^-2x
e pede para verificar se elas são linearmente dependentes (L.D.) ou linearmente independentes (L.I.). Como temos duas funções, basta calcular o Wronskiano
W(x) = y1(x) & y2(x) y1'(x) & y2'(x)
e checar se ele é identicamente zero ou não.

Passo 2

Calcular as derivadas de cada função:
y1'(x) = ddxl(-2e^3xr) = -2cdot3,e^3x = -6e^3x,
y2'(x) = ddxl(3e^-2xr) = 3cdot(-2),e^-2x = -6e^-2x

Passo 3

Substituir no determinante do Wronskiano:
W(x) = y1(x),y2'(x) ;-; y2(x),y1'(x) = l(-2e^3xr)l(-6e^-2xr) -l(3e^-2xr)l(-6e^3xr)
Agora simplificar cada termo:
(-2e^3x)(-6e^-2x) = 12e^3x-2x = 12e^x,
(3e^-2x)(-6e^3x) = -18e^3x-2x = -18e^x,
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W(x) = 12e^x -(-18e^x) = 12e^x + 18e^x = 30e^x

Passo 4

Como
W(x) = 30e^x
é nunca zero (para todo xinR, porque e^x>0), as funções são linearmente independentes no domínio considerado.

Resposta

As funções y1(x)=-2e^3x e y2(x)=3e^-2x são L.I.

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