Determine o dominio de h=f^circ g se f(t)=ln (t), g(x, y)=x^2+y. (Sol. y>-x^2)

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente encontrar o domínio da função h = f circ g , onde f(t) = ln(t) e g(x, y) = x^2 + y . Isso está relacionado ao conteúdo de composição de funções e domínio de funções. Para resolver, vamos precisar entender onde a função g(x, y) está definida e, em seguida, garantir que o resultado dessa função seja válido para a função f(t) .

Passo 2

Primeiro, vamos analisar a função g(x, y) = x^2 + y . Essa é uma função polinomial em duas variáveis, x e y . Funções polinomiais são definidas para todos os números reais, ou seja, não há restrições para x e y . Portanto, o domínio de g é todo o conjunto de números reais para x e y .

Passo 3

Agora, vamos olhar para a função f(t) = ln(t) . A função logaritmo natural só está definida quando o argumento dentro do logaritmo é maior que zero. Ou seja, t > 0 .

Passo 4

Como h = f circ g , isso significa que h(x, y) = f(g(x, y)) = ln(x^2 + y) . Para que essa composição seja válida, precisamos que o que está dentro do logaritmo seja maior que zero. Assim, temos a condição:
x^2 + y > 0

Passo 5

Vamos resolver a desigualdade x^2 + y > 0 para encontrar o domínio de h . Subtraindo x^2 de ambos os lados, temos:
y > -x^2
Isso significa que, para cada valor de x , o valor de y deve ser maior que -x^2 .

Resposta

O domínio de h = f^circ g é dado por todos os pares (x, y) tais que y > -x^2 .
y > -x^2

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