Os elementos da matriz A são exatamente os mostrados acima.
Não há outras condições adicionais. Vou usar apenas essa matriz para resolver as duas partes solicitadas.
Passo 2
Vamos calcular \det(A) primeiro, porque existe uma relação simples entre \det(A) e \det(A^{-1}).
Lembrete/mini-aula: para uma matriz quadrada invertível A vale a relação
\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}.
Além disso, se uma matriz é triangular (superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Observando A, notamos que todos os elementos acima da diagonal principal são zero (posições (1,2),(1,3),(2,3) são zero), portanto A é uma matriz triangular inferior. Logo:
\det(A)=\text{produto das entradas da diagonal} = 2\cdot 1\cdot (-1).
Agora vamos aos autovalores (e depois autovetores). Mini-aula: para matrizes triangulares, os autovalores são exatamente os elementos da diagonal principal. Isso é porque o polinômio característico \det(A-\lambda I) para matriz triangular resulta em produto \prod (a_{ii}-\lambda).
Importante para o que vem a seguir: se v é autovetor de A associado a um autovalor \lambda\neq 0, então v também é autovetor de A^{-1} associado a 1/\lambda. Isso vem da manipulação:
Av=\lambda v \quad\Rightarrow\quad A^{-1}Av = A^{-1}\lambda v \quad\Rightarrow\quad v = \lambda A^{-1}v \quad\Rightarrow\quad A^{-1}v=\frac{1}{\lambda}v.
Assim, para obter os autovalores de A^{-1} basta inverter os autovalores não nulos de A; e os autovetores serão os mesmos de A.
Passo 4
Vamos achar autovetores de [A) resolvendo (A-\lambda I)v=0 para cada \lambda. Escrevo v=(x,y,z)^T.
\begin{cases} 0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 0 &\text{(linha 1, trivial)}\\[4pt] 2x - y + 0\cdot z = 0 &\Rightarrow\; y = 2x\\[4pt] x + 2y - 3z = 0. \end{cases}