Questão(3,0 PONTOS): Considere a matriz A abaixo, calcule det \left(\mathrm{A}^{-1}\right), e autovetores e autovalores de \mathrm{A}^{-1}.
A=\left[\begin{array}{ccc} 2 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & -1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado pede duas coisas:
  • Calcular \det\!\left(\mathrm{A}^{-1}\right).
  • Determinar os autovalores e autovetores de \mathrm{A}^{-1}.
A matriz fornecida é
A=\begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\\\ 2 & 1 & 0 \\\\ 1 & 2 & -1 \end{pmatrix}.
Informações relevantes dadas pelo enunciado:
  • Os elementos da matriz A são exatamente os mostrados acima.
  • Não há outras condições adicionais. Vou usar apenas essa matriz para resolver as duas partes solicitadas.

Passo 2

Vamos calcular \det(A) primeiro, porque existe uma relação simples entre \det(A) e \det(A^{-1}).
Lembrete/mini-aula: para uma matriz quadrada invertível A vale a relação
\det(A^{-1}) = \frac{1}{\det(A)}.
Além disso, se uma matriz é triangular (superior ou inferior), o determinante é o produto dos elementos da diagonal principal.
Observando A, notamos que todos os elementos acima da diagonal principal são zero (posições (1,2),(1,3),(2,3) são zero), portanto A é uma matriz triangular inferior. Logo:
\det(A)=\text{produto das entradas da diagonal} = 2\cdot 1\cdot (-1).
Calculemos:
\det(A)=2\cdot 1\cdot(-1) = -2.
Aplicando a relação \det(A^{-1}) = 1/\det(A):
\det\!\left(A^{-1}\right)=\frac{1}{-2} = -\tfrac{1}{2}.

Passo 3

Agora vamos aos autovalores (e depois autovetores). Mini-aula: para matrizes triangulares, os autovalores são exatamente os elementos da diagonal principal. Isso é porque o polinômio característico \det(A-\lambda I) para matriz triangular resulta em produto \prod (a_{ii}-\lambda).
Portanto, os autovalores de A são
\lambda_1 = 2,\qquad \lambda_2 = 1,\qquad \lambda_3 = -1.
Importante para o que vem a seguir: se v é autovetor de A associado a um autovalor \lambda\neq 0, então v também é autovetor de A^{-1} associado a 1/\lambda. Isso vem da manipulação:
Av=\lambda v \quad\Rightarrow\quad A^{-1}Av = A^{-1}\lambda v \quad\Rightarrow\quad v = \lambda A^{-1}v \quad\Rightarrow\quad A^{-1}v=\frac{1}{\lambda}v.
Assim, para obter os autovalores de A^{-1} basta inverter os autovalores não nulos de A; e os autovetores serão os mesmos de A.

Passo 4

Vamos achar autovetores de [A) resolvendo (A-\lambda I)v=0 para cada \lambda. Escrevo v=(x,y,z)^T.
(a) Para \lambda=2:
A-2I=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\[4pt] 2 & -1 & 0\\[4pt] 1 & 2 & -3 \end{pmatrix}.
O sistema (A-2I)v=0 dá as equações:
\begin{cases} 0\cdot x + 0\cdot y + 0\cdot z = 0 &\text{(linha 1, trivial)}\\[4pt] 2x - y + 0\cdot z = 0 &\Rightarrow\; y = 2x\\[4pt] x + 2y - 3z = 0. \end{cases}
Substituindo y=2x\] na terceira equação: \[x + 2(2x) - 3z = 0 \quad\Rightarrow\quad 5x - 3z = 0 \quad\Rightarrow\quad z=\tfrac{5}{3}x.\] Escolhendo \[x=3 (para evitar frações) obtemos um autovetor conveniente
v_{(2)} = \begin{pmatrix}3\\[2pt] 6\\[2pt] 5\end{pmatrix}.
Qualquer múltiplo escalar desse vetor também é autovetor associado a \lambda=2.
(b) Para \lambda=1:
A-I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 0 & 0\\[4pt] 1 & 2 & -2 \end{pmatrix}.
O sistema (A-I)v=0 dá:
\begin{cases} x = 0\\[4pt] 2x = 0 \\ (\text{consistente com }x=0)\\[4pt] x + 2y - 2z = 0 \Rightarrow 0 + 2y - 2z =0 \Rightarrow y = z. \end{cases}
Escolhendo z=1\] obtemos \[y=1 e x=0, logo um autovetor é
v_{(1)} = \begin{pmatrix}0\\[2pt] 1\\[2pt] 1\end{pmatrix}.
(c) Para \lambda=-1:
A-(-1)I = A+I = \begin{pmatrix} 3 & 0 & 0\\[4pt] 2 & 2 & 0\\[4pt] 1 & 2 & 0 \end{pmatrix}.
O sistema (A+I)v=0 dá:
\begin{cases} 3x = 0 \Rightarrow x=0\\[4pt] 2x + 2y = 0 \Rightarrow 2y=0 \Rightarrow y=0\\[4pt] x + 2y + 0\cdot z = 0 \\ (\text{trivial com }x=y=0). \end{cases}
Logo x=0\], \(y=0 e z é livre. Escolhendo z=1 obtemos o autovetor
v_{(-1)} = \begin{pmatrix}0\\[2pt] 0\\[2pt] 1\end{pmatrix}.
Resumo dos autovetores de A:
\begin{aligned} \lambda=2&:\; v_{(2)}=(3,6,5)^T,\\[4pt] \lambda=1&:\; v_{(1)}=(0,1,1)^T,\\[4pt] \lambda=-1&:\; v_{(-1)}=(0,0,1)^T. \end{aligned}]

Passo 5

Usando a propriedade explicada antes (se Av=\lambda v e \lambda\neq 0, então A^{-1}v=(1/\lambda)v), obtemos os autovalores e autovetores de A^{-1}:
  • Os autovalores de A^{-1} são os inversos dos autovalores de A:
\mu_1=\tfrac{1}{2},\qquad \mu_2=1,\qquad \mu_3=-1.
  • Os autovetores de A^{-1} são os mesmos vetores encontrados para A, respectivamente:
\begin{aligned} \mu_1=\tfrac{1}{2}&:\; v_{(2)}=(3,6,5)^T,\\[4pt] \mu_2=1&:\; v_{(1)}=(0,1,1)^T,\\[4pt] \mu_3=-1&:\; v_{(-1)}=(0,0,1)^T. \end{aligned}
Portanto já temos tudo que foi pedido: \det(A^{-1}) e os autovalores/autovetores de A^{-1}.]

Resposta

\det\!\left(A^{-1}\right)=-\tfrac{1}{2}
Autovalores e autovetores de A^{-1}:
\mu=\tfrac{1}{2} com v=\begin{pmatrix}3\\[2pt]6\\[2pt]5\end{pmatrix}
\mu=1 com v=\begin{pmatrix}0\\[2pt]1\\[2pt]1\end{pmatrix}
\mu=-1 com v=\begin{pmatrix}0\\[2pt]0\\[2pt]1\end{pmatrix}]

Exercícios relacionados