QUESTÃO 3 (5 PONTOS):
Calcule as seguintes integrais
d) integralpi3^pi2 11-cos x+sin x d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
integralpi3^pi2 11-cos x+sin x,dx
O conteúdo aqui é integração de função trigonométrica, e vamos usar a substituição de Weierstrass t=tanx2 para transformar tudo em uma integral racional em t.

Passo 2

Aplicando a substituição
t = tanx2, sin x = 2t1+t^2, cos x = 1-t^21+t^2, dx = 2,dt1+t^2,
temos
1-cos x+sin x =1 - 1-t^21+t^2 + 2t1+t^2 =(1+t^2)-(1-t^2)+2t1+t^2 =2t(t+1)1+t^2
Além disso, quando x=pi3 então t=tanpi6=1raiz3, e quando x=pi2 então t=tanpi4=1. Logo a integral vira
integral1/raiz3^1 2,dt/(1+t^2) 2t(t+1)/(1+t^2) =integral1/raiz3^1dtt(t+1)

Passo 3

Para integrar
integral dtt(t+1),
fazemos frações parciais:
1t(t+1) =At+Bt+1 Longrightarrow A=1,;B=-1,
então
1t(t+1)=1t-1t+1
Logo
integral1/raiz3^1dtt(t+1) =l[ln t-ln(t+1)r]1/raiz3^1

Passo 4

Avaliaremos em t=1 e t=tfrac1raiz3:
l(ln1-ln2r) - l(lntfrac1raiz3-lnl(1+tfrac1raiz3r)r) =-ln2-l(-tfrac12ln3r)+ln!l(1+tfrac1raiz3r)
Como
ln!l(1+tfrac1raiz3r) =lnraiz3+1raiz3 =ln(raiz3+1)-tfrac12ln3,
fica
-ln2+tfrac12ln3+ln(raiz3+1)-tfrac12ln3 =-ln2+ln(raiz3+1) =lnraiz3+12

Resposta

lnraiz3+12

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