Verifique se as seguintes séries são convergentes:
(1 , 0 ) sumn=1^+infty raizn+22 n^2+n+1 (Dica: use o teste da comparação);

Passo 1

O enunciado pede para verificar a convergência da série
sumn=1^+infty raizn+22,n^2 + n + 1
usando o teste da comparação. O conteúdo aqui é séries numéricas e vamos comparar com uma série p-adica conhecida.

Passo 2

Para aplicar o teste da comparação encontramos uma série mais simples que domine o termo geral. Note que, para n>=1,
n+2 <= 3,n Longrightarrow raizn+2<= raiz3,n = raiz3,n^1/2,
e também
2,n^2+n+1 >= 2,n^2
Assim o termo geral
an = raizn+22,n^2+n+1
satisfaz
an <= raiz3,n^1/22,n^2 = raiz32;n^-3/2

Passo 3

A série
sumn=1^+infty n^-3/2
é uma série p-adica com p=tfrac32>1, logo converge. Multiplicar por tfracraiz32 não afeta a convergência.

Passo 4

Pela comparação, como
0 <= an <= tfracraiz32,n^-3/2
e sum n^-3/2 converge, concluímos que
sum an também converge.

Resposta

A série sumn=1^+infty raizn+22,n^2+n+1 converge.

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