Um retângulo deve ser inscrito em uma semicircunferência de raio 5 metros. Qual é a maior área que o retângulo pode ter e quais as suas dimensões?
Passo 1
O enunciado diz que queremos inscrever um retângulo na parte superior de uma semicircunferência de raio
m e maximizar sua área. O conteúdo aqui é otimização de função usando derivada.
Passo 2
Escolhemos como variável
a metade da base do retângulo (distância horizontal do centro até um canto) e chamamos de
a altura. Como o canto está na semicircunferência,
A área do retângulo é
Usando a relação acima, escrevemos
Passo 3
Para achar o máximo, calculamos
. Usando derivada do produto e da raiz:
Anulando
basta resolver
, ou seja
Passo 4
Como em
ou
a área cai a zero, esse ponto interno é de máximo. A altura correspondente é
Passo 5
Logo a base do retângulo é
e a altura é
A área máxima vale
Resposta
A área máxima é
metros quadrados.
As dimensões do retângulo são base m e altura
m.
As dimensões do retângulo são base