Um retângulo deve ser inscrito em uma semicircunferência de raio 5 metros. Qual é a maior área que o retângulo pode ter e quais as suas dimensões?

Passo 1

O enunciado diz que queremos inscrever um retângulo na parte superior de uma semicircunferência de raio 5 m e maximizar sua área. O conteúdo aqui é otimização de função usando derivada.

Passo 2

Escolhemos como variável x a metade da base do retângulo (distância horizontal do centro até um canto) e chamamos de y a altura. Como o canto está na semicircunferência,
x^2 + y^2 = 5^2 = 25
A área do retângulo é
A = basetimesa<ura = (2x),y
Usando a relação acima, escrevemos
A(x) = 2x,raiz25 - x^2

Passo 3

Para achar o máximo, calculamos A'(x). Usando derivada do produto e da raiz:
A'(x) =2raiz25 - x^2 +2xgl(-xraiz25 - x^2gr) =2l(25 - 2x^2r)raiz25 - x^2
Anulando A'(x) basta resolver 25 - 2x^2 = 0, ou seja
x^2 = 252 Longrightarrow x = 5raiz2

Passo 4

Como em x=0 ou x=5 a área cai a zero, esse ponto interno é de máximo. A altura correspondente é
y = raiz25 - x^2 = raiz25 - tfrac252 = 5raiz2

Passo 5

Logo a base do retângulo é
2x = 2cdot5raiz2 = 5raiz2
e a altura é
y = 5raiz2
A área máxima vale
Amax = 2xcdot y = 2cdot5raiz2cdot5raiz2 = 25

Resposta

A área máxima é 25 metros quadrados.
As dimensões do retângulo são base 5raiz2 m e altura 5/raiz2 m.

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