Questão 2 (2,0 Pontos). Calcule as seguintes integrais. No item
utilizando expansão em frações parciais:
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
e especifica que, no item
, devemos usar expansão em frações parciais. A informação relevante é apenas o integrando
e o fato de termos que decompor em frações parciais antes de integrar.
Passo 2
Vou explicar o método de frações parciais de forma bem simples: quando temos uma função racional cuja denominação é um produto de fatores lineares distintos, podemos escrever essa função como soma de termos do tipo
. No nosso caso, os fatores lineares são
e
, então procuramos constantes
e
tais que
A vantagem é que cada termo
tem integral imediata:
. Agora vamos encontrar
e
.
Passo 3
Multiplicamos a igualdade acima pelo denominador comum
para obter uma identidade em
:
Essa é uma igualdade entre polinômios que deve valer para todo
.
Passo 4
Uma forma direta de achar
e
é escolher valores convenientes de
que anulem termos:
- Para
:
- Para
:
Passo 5
Substituindo
e
na decomposição obtemos
Agora a integral se separa em duas integrais simples:
Passo 6
Vou recordar a regra de integração usada aqui: para qualquer constante
,
Isto se obtém por substituição
,
. Aplicando essa regra aos dois termos:
Passo 7
Subtraindo as duas integrais e juntando as constantes numa única constante
, obtemos
Podemos também escrever essa diferença de logaritmos como o logaritmo do quociente: