Questão 2 (2,0 Pontos). Calcule as seguintes integrais. No item b utilizando expansão em frações parciais:
\int \frac{2}{(x-1)(x+1)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{2}{(x-1)(x+1)}\,dx
e especifica que, no item b, devemos usar expansão em frações parciais. A informação relevante é apenas o integrando \dfrac{2}{(x-1)(x+1)} e o fato de termos que decompor em frações parciais antes de integrar.

Passo 2

Vou explicar o método de frações parciais de forma bem simples: quando temos uma função racional cuja denominação é um produto de fatores lineares distintos, podemos escrever essa função como soma de termos do tipo \dfrac{A}{x-a}. No nosso caso, os fatores lineares são x-1 e x+1, então procuramos constantes A e B tais que
\frac{2}{(x-1)(x+1)}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}.
A vantagem é que cada termo \dfrac{1}{x-a} tem integral imediata: \int \dfrac{1}{x-a}\,dx=\ln|x-a|+C. Agora vamos encontrar A e B.

Passo 3

Multiplicamos a igualdade acima pelo denominador comum (x-1)(x+1) para obter uma identidade em x:
2 = A(x+1)+B(x-1).
Essa é uma igualdade entre polinômios que deve valer para todo x.

Passo 4

Uma forma direta de achar A e B é escolher valores convenientes de x que anulem termos:
  • Para x=1:
2 = A(1+1)+B(1-1) \quad\Rightarrow\quad 2 = 2A \quad\Rightarrow\quad A=1.
  • Para x=-1:
2 = A(-1+1)+B(-1-1) \quad\Rightarrow\quad 2 = -2B \quad\Rightarrow\quad B=-1.

Passo 5

Substituindo A e B na decomposição obtemos
\frac{2}{(x-1)(x+1)}=\frac{1}{x-1}-\frac{1}{x+1}.
Agora a integral se separa em duas integrais simples:
\int \frac{2}{(x-1)(x+1)}\,dx = \int \frac{1}{x-1}\,dx - \int \frac{1}{x+1}\,dx.

Passo 6

Vou recordar a regra de integração usada aqui: para qualquer constante a,
\int \frac{1}{x-a}\,dx = \ln|x-a| + C.
Isto se obtém por substituição u=x-a, du=dx. Aplicando essa regra aos dois termos:
\int \frac{1}{x-1}\,dx = \ln|x-1| + C_1, \qquad \int \frac{1}{x+1}\,dx = \ln|x+1| + C_2.

Passo 7

Subtraindo as duas integrais e juntando as constantes numa única constante C, obtemos
\int \frac{2}{(x-1)(x+1)}\,dx = \ln|x-1| - \ln|x+1| + C.
Podemos também escrever essa diferença de logaritmos como o logaritmo do quociente:
\ln|x-1| - \ln|x+1| = \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right|.

Resposta

\displaystyle \ln\left|\frac{x-1}{x+1}\right| + C

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