Questão 2 (2,0 Pontos). Calcule as seguintes integrais. No item a utilizando substituição:
\int_{0}^{1} x^{3}\left(1+x^{4}\right)^{3} d x

Passo 1

O enunciado pede que eu calcule a integral definida
\int_{0}^{1} x^{3}\left(1+x^{4}\right)^{3}\,dx
e indica explicitamente que use substituição. As informações dadas são: o integrando é x^{3}(1+x^{4})^{3} e os limites da integração são x=0 a x=1. Nada mais precisa ser perguntado — vamos resolver.

Passo 2

Ideia da substituição (explicação didática): quando temos uma expressão do tipo (\text{algo})^{n} e vemos no produto uma parte cuja derivada é proporcional ao restante do integrando, é conveniente definir u= esse “algo”. Aqui o “algo” é 1+x^{4}. Vou definir
u = 1 + x^{4}.
Agora calculo a diferencial du. A regra é: derive u em relação a x e multiplique por dx:
du = \frac{d}{dx}(1+x^{4})\,dx = 4x^{3}\,dx.
Isolando x^{3}\,dx obtenho
x^{3}\,dx = \frac{1}{4}\,du.
Isso é útil porque o integrando tem exatamente um fator x^{3}\,dx.

Passo 3

Troca dos limites (explicação didática): para integral definida é mais prático mudar os limites para a variável u em vez de voltar a x no final. Quando x=0,
u = 1 + 0^{4} = 1.
Quando x=1,
u = 1 + 1^{4} = 2.
Portanto os novos limites serão u=1 a u=2.

Passo 4

Fazer a substituição na integral (passo mecânico): substituindo u=1+x^{4} e x^{3}\,dx=\tfrac{1}{4}du na integral original, temos
\int_{0}^{1} x^{3}\left(1+x^{4}\right)^{3}\,dx = \int_{1}^{2} u^{3}\cdot \frac{1}{4}\,du.
Posso tirar a constante \tfrac{1}{4} para fora da integral:
\int_{1}^{2} u^{3}\cdot \frac{1}{4}\,du = \frac{1}{4}\int_{1}^{2} u^{3}\,du.

Passo 5

Integração usando a regra da potência (aula curta): a regra da potência diz que, para n\neq -1,
\int u^{n}\,du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C.
Aqui n=3, então
\int u^{3}\,du = \frac{u^{4}}{4}.
Como temos integral definida, aplicamos o teorema fundamental do cálculo e avaliamos a primitiva nos limites.

Passo 6

Avaliar a integral definida passo a passo: usando a primitiva \tfrac{u^{4}}{4},
\frac{1}{4}\int_{1}^{2} u^{3}\,du = \frac{1}{4}\left[\frac{u^{4}}{4}\right]_{1}^{2} = \frac{1}{16}\left(u^{4}\Big|_{1}^{2}\right).
Agora calculo u^{4} em 2 e em 1:
u^{4}\Big|_{1}^{2} = 2^{4} - 1^{4} = 16 - 1 = 15.
Portanto
\frac{1}{16}\cdot 15 = \frac{15}{16}.

Passo 7

Comentário final e pequeno reforço (exemplo rápido): a técnica foi escolher u=1+x^{4} porque sua derivada é 4x^{3}, que aparece no integrando. Um exemplo parecido e mais simples seria
\int_{0}^{1} x(1+x^{2})^{2}\,dx.
Se eu tomasse v=1+x^{2}, teria dv=2x\,dx e x\,dx=\tfrac{1}{2}dv, transformando a integral em \tfrac{1}{2}\int_{1}^{2} v^{2}\,dv, que se resolve do mesmo modo. Isso reforça o padrão: escolha a “parte interna” cuja derivada aparece multiplicando.

Resposta

\tfrac{15}{16}

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