Questão 2 (2,0 Pontos). Calcule as seguintes integrais. No item a utilizando substituição: \int_{0}^{1} x^{3}\left(1+x^{4}\right)^{3} d x
Passo 1
O enunciado pede que eu calcule a integral definida
\int_{0}^{1} x^{3}\left(1+x^{4}\right)^{3}\,dx
e indica explicitamente que use substituição. As informações dadas são: o integrando é x^{3}(1+x^{4})^{3} e os limites da integração são x=0 a x=1. Nada mais precisa ser perguntado — vamos resolver.
Passo 2
Ideia da substituição (explicação didática): quando temos uma expressão do tipo (\text{algo})^{n} e vemos no produto uma parte cuja derivada é proporcional ao restante do integrando, é conveniente definir u= esse “algo”. Aqui o “algo” é 1+x^{4}. Vou definir
u = 1 + x^{4}.
Agora calculo a diferencial du. A regra é: derive u em relação a x e multiplique por dx:
du = \frac{d}{dx}(1+x^{4})\,dx = 4x^{3}\,dx.
Isolando x^{3}\,dx obtenho
x^{3}\,dx = \frac{1}{4}\,du.
Isso é útil porque o integrando tem exatamente um fator x^{3}\,dx.
Passo 3
Troca dos limites (explicação didática): para integral definida é mais prático mudar os limites para a variável u em vez de voltar a x no final. Quando x=0,
u = 1 + 0^{4} = 1.
Quando x=1,
u = 1 + 1^{4} = 2.
Portanto os novos limites serão u=1 a u=2.
Passo 4
Fazer a substituição na integral (passo mecânico): substituindo u=1+x^{4} e x^{3}\,dx=\tfrac{1}{4}du na integral original, temos
Comentário final e pequeno reforço (exemplo rápido): a técnica foi escolher u=1+x^{4} porque sua derivada é 4x^{3}, que aparece no integrando. Um exemplo parecido e mais simples seria
\int_{0}^{1} x(1+x^{2})^{2}\,dx.
Se eu tomasse v=1+x^{2}, teria dv=2x\,dx e x\,dx=\tfrac{1}{2}dv, transformando a integral em \tfrac{1}{2}\int_{1}^{2} v^{2}\,dv, que se resolve do mesmo modo. Isso reforça o padrão: escolha a “parte interna” cuja derivada aparece multiplicando.