Questão 1 ( 2,0 Pontos). Calcule a seguinte integral utilizando a técnica de integração por partes.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral
Informações dadas: a integranda é
e queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função cuja derivada é
. Não começarei a resolver aqui, só identifiquei claramente o que é pedido.
Passo 2
Lembrete da técnica que vamos usar (integração por partes). A fórmula de integração por partes é
onde
e
são partes da integranda escolhidas por nós,
é a derivada de
em relação a
multiplicada por
, e
é uma primitiva de
. Explicando: escolhemos
para que
seja mais simples, e escolhemos
para que seja fácil achar
.
Passo 3
Escolha prática para este integrando. Uma escolha conveniente é separar
como produto de
e
:
Justificativa simples:
tem
muito simples (
);
contém a parte exponencial que é fácil de integrar.
Passo 4
Calcular
e
. Derivando
e integrando
:
Para
usamos que
. Assim
Expliquei: primeiro integramos
obtendo
, depois multiplicamos por
.
Passo 5
Aplicar a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
:
Passo 6
Calcular a integral restante
. Usando de novo
:
Passo 7
Substituindo de volta e organizando o resultado:
onde
é a constante de integração. Podemos fatorar
se quisermos uma forma alternativa: