Questão 1 ( 2,0 Pontos). Calcule a seguinte integral utilizando a técnica de integração por partes.
\int 10 x e^{4 x} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int 10 x e^{4 x}\, dx.
Informações dadas: a integranda é 10 x e^{4 x} e queremos uma primitiva (integral indefinida), ou seja, uma função cuja derivada é 10 x e^{4 x}. Não começarei a resolver aqui, só identifiquei claramente o que é pedido.

Passo 2

Lembrete da técnica que vamos usar (integração por partes). A fórmula de integração por partes é
\int u\, dv = u v - \int v\, du,
onde u e dv são partes da integranda escolhidas por nós, du é a derivada de u em relação a x multiplicada por dx, e v é uma primitiva de dv. Explicando: escolhemos u para que du seja mais simples, e escolhemos dv para que seja fácil achar v=\int dv.

Passo 3

Escolha prática para este integrando. Uma escolha conveniente é separar 10 x e^{4x} como produto de u e dv:
u = x,\qquad dv = 10 e^{4x}\, dx.
Justificativa simples: u=x tem du muito simples ( dx); dv contém a parte exponencial que é fácil de integrar.

Passo 4

Calcular du e v. Derivando u e integrando dv:
du = dx.
Para v usamos que \int e^{a x}\, dx = \frac{1}{a} e^{a x}. Assim
v = \int 10 e^{4x}\, dx = 10 \cdot \frac{1}{4} e^{4x} = \frac{5}{2} e^{4x}.
Expliquei: primeiro integramos e^{4x} obtendo \frac{1}{4}e^{4x}, depois multiplicamos por 10.

Passo 5

Aplicar a fórmula de integração por partes:
\int 10 x e^{4x}\, dx = u v - \int v\, du.
Substituindo u, v e du:
\int 10 x e^{4x}\, dx = x\cdot\frac{5}{2} e^{4x} - \int \frac{5}{2} e^{4x}\, dx.

Passo 6

Calcular a integral restante \int \frac{5}{2} e^{4x}\, dx. Usando de novo \int e^{4x}\, dx = \frac{1}{4} e^{4x}:
\int \frac{5}{2} e^{4x}\, dx = \frac{5}{2} \cdot \frac{1}{4} e^{4x} = \frac{5}{8} e^{4x}.

Passo 7

Substituindo de volta e organizando o resultado:
\int 10 x e^{4x}\, dx = \frac{5}{2} x e^{4x} - \frac{5}{8} e^{4x} + C,
onde C é a constante de integração. Podemos fatorar \frac{5}{8} e^{4x} se quisermos uma forma alternativa:
\int 10 x e^{4x}\, dx = \frac{5}{8} e^{4x} \left(4x - 1\right) + C.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{2} x e^{4x} - \frac{5}{8} e^{4x} + C

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