O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende a infinito:
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+2x}{x^{2}}.
Informações dadas: a expressão é uma fração racional cujo numerador e denominador são polinômios em x. O que se pede é o valor do limite quando x cresce sem bound.
Passo 2
Ideia de resolução (explicação didática): quando x\to\infty os termos com maiores potências de x dominam o comportamento da expressão. Uma técnica simples e padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui x^{2}), para transformar a expressão em termos que envolvem potências negativas de x (como 1/x), as quais tendem a zero quando x\to\infty. Essa manipulação torna claro quais termos desaparecem no limite.
Passo 3
Aplicando a divisão por x^{2} em numerador e denominador:
Agora usamos propriedades básicas de limites: o limite da soma é a soma dos limites (quando ambos existem). Sabemos também que o limite de uma constante é a própria constante. Resta analisar \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x}.
Intuitivamente, quando x cresce muito, o denominador x fica muito grande e a fração \dfrac{2}{x} fica cada vez mais próxima de zero. Formalmente, para qualquer \varepsilon>0 basta escolher M=\dfrac{2}{\varepsilon}; se x>M então \left|\dfrac{2}{x}-0\right|=\dfrac{2}{x}<\varepsilon, logo \dfrac{2}{x}\to0 quando x\to\infty.
Dica rápida para provas: para limites à infinidade de frações de polinômios, compare os graus (as maiores potências) dos polinômios. Se os graus são iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui coeficiente de x^{2} no numerador é 1 e no denominador é 1, então 1/1=1). Exemplos: \lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^{3}+1}{5x^{3}-7}=\dfrac{3}{5}.