Questão 3. (3,0 pontos) Calcule o valor de cada limite, se ele existir, justificando a sua resposta.
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{x^{2}+2 x}{x^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o seguinte limite quando x tende a infinito:
\lim_{x\to\infty}\frac{x^{2}+2x}{x^{2}}.
Informações dadas: a expressão é uma fração racional cujo numerador e denominador são polinômios em x. O que se pede é o valor do limite quando x cresce sem bound.

Passo 2

Ideia de resolução (explicação didática): quando x\to\infty os termos com maiores potências de x dominam o comportamento da expressão. Uma técnica simples e padrão é dividir numerador e denominador pela maior potência de x que aparece (aqui x^{2}), para transformar a expressão em termos que envolvem potências negativas de x (como 1/x), as quais tendem a zero quando x\to\infty. Essa manipulação torna claro quais termos desaparecem no limite.

Passo 3

Aplicando a divisão por x^{2} em numerador e denominador:
\frac{x^{2}+2x}{x^{2}}=\frac{x^{2}}{x^{2}}+\frac{2x}{x^{2}}.
Como as frações somadas têm mesmo denominador, escrevemos cada termo separadamente:
\frac{x^{2}}{x^{2}}=1 \qquad\text{e}\qquad \frac{2x}{x^{2}}=\frac{2}{x}.
Portanto a expressão simplifica para
\frac{x^{2}+2x}{x^{2}}=1+\frac{2}{x}.

Passo 4

Agora usamos propriedades básicas de limites: o limite da soma é a soma dos limites (quando ambos existem). Sabemos também que o limite de uma constante é a própria constante. Resta analisar \displaystyle\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x}.
Intuitivamente, quando x cresce muito, o denominador x fica muito grande e a fração \dfrac{2}{x} fica cada vez mais próxima de zero. Formalmente, para qualquer \varepsilon>0 basta escolher M=\dfrac{2}{\varepsilon}; se x>M então \left|\dfrac{2}{x}-0\right|=\dfrac{2}{x}<\varepsilon, logo \dfrac{2}{x}\to0 quando x\to\infty.

Passo 5

Aplicando isso ao limite original:
\lim_{x\to\infty}\left(1+\frac{2}{x}\right)=\lim_{x\to\infty}1+\lim_{x\to\infty}\frac{2}{x}=1+0=1.

Passo 6

Dica rápida para provas: para limites à infinidade de frações de polinômios, compare os graus (as maiores potências) dos polinômios. Se os graus são iguais, o limite é a razão dos coeficientes dos termos de maior grau (aqui coeficiente de x^{2} no numerador é 1 e no denominador é 1, então 1/1=1). Exemplos: \lim_{x\to\infty}\dfrac{3x^{3}+1}{5x^{3}-7}=\dfrac{3}{5}.

Resposta

1

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