Questão 4. ( 2,0 pontos). Seja
uma função tal que
Calcule o valor do limite
:
Apresente a resolução completa.
Passo 1
O enunciado fornece uma função
com domínio
e pede o valor do limite
Informações relevantes dadas:
- A expressão do numerador é
. - O limite é quando
tende a . - Deve-se calcular o limite numérico
.
Passo 2
Primeiro, verificar substituição direta para ver o tipo de indeterminação. Substituindo
no numerador:
O denominador
também é
em
. Logo temos uma forma indeterminada
. Para resolver isso precisamos expandir o numerador até encontrar o primeiro termo não nulo em potência de
; como o denominador é
, precisamos conhecer os termos até ordem
no desenvolvimento de
.
Passo 3
Vamos usar a série binomial (Maclaurin) para
. A fórmula geral é
onde
Aqui tomamos
e
. A série converge para
, isto é,
, condição satisfeita perto de
.
Passo 4
Calcular os primeiros termos da expansão com
e
.
- Para
:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
portanto
.
Assim, a expansão até ordem
é
onde
indica termos de ordem estritamente superior a
.
Passo 5
Substituir essa expansão no numerador da expressão do limite:
Agora simplificar termo a termo:
cancela,
cancela,
cancela. Sobram os termos de ordem
e superiores:
Passo 6
Dividir pelo denominador
:
Quando
temos
. Portanto o limite existe e é
.