Questão 4. ( 2,0 pontos). Seja f uma função tal que
f: \mathbb{R} \backslash\{0\} \longrightarrow \mathbb{R}
Calcule o valor do limite \mathbf{L} :
\mathbf{L}=\lim _{x \rightarrow 0} \frac{\sqrt{1+x^{2}}-1-\frac{1}{2} x^{2}+\frac{1}{8} x^{4}}{x^{6}}
Apresente a resolução completa.

Passo 1

O enunciado fornece uma função f com domínio \mathbb{R}\setminus\{0\} e pede o valor do limite
\mathbf{L}=\lim_{x\to 0}\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1-\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{8}x^{4}}{x^{6}}.
Informações relevantes dadas:
  • A expressão do numerador é \sqrt{1+x^{2}}-1-\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{8}x^{4}.
  • O limite é quando x tende a 0.
  • Deve-se calcular o limite numérico \mathbf{L}.

Passo 2

Primeiro, verificar substituição direta para ver o tipo de indeterminação. Substituindo x=0 no numerador:
\sqrt{1+0}-1-\tfrac{1}{2}0+\tfrac{1}{8}0=1-1=0.
O denominador x^{6} também é 0 em x=0. Logo temos uma forma indeterminada \tfrac{0}{0}. Para resolver isso precisamos expandir o numerador até encontrar o primeiro termo não nulo em potência de x; como o denominador é x^{6}, precisamos conhecer os termos até ordem x^{6} no desenvolvimento de \sqrt{1+x^{2}}.

Passo 3

Vamos usar a série binomial (Maclaurin) para (1+u)^{\alpha}. A fórmula geral é
(1+u)^{\alpha}=\sum_{k=0}^{\infty}\binom{\alpha}{k}u^{k},
onde
\binom{\alpha}{k}=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots(\alpha-k+1)}{k!}.
Aqui tomamos \alpha=\tfrac{1}{2} e u=x^{2}. A série converge para |u|<1, isto é, |x|<1, condição satisfeita perto de 0.

Passo 4

Calcular os primeiros termos da expansão com \alpha=\tfrac{1}{2} e u=x^{2}.
  • Para k=0:
\binom{1/2}{0}=1 \quad\Rightarrow\quad u^{0}=1.
  • Para k=1:
\binom{1/2}{1}=\tfrac{1}{2}\quad\Rightarrow\quad \tfrac{1}{2}u=\tfrac{1}{2}x^{2}.
  • Para k=2:
\binom{1/2}{2}=\frac{\tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{1}{2}-1\bigr)}{2!}=\frac{\tfrac{1}{2}\cdot(-\tfrac{1}{2})}{2}=-\tfrac{1}{8}\quad\Rightarrow\quad -\tfrac{1}{8}u^{2}=-\tfrac{1}{8}x^{4}.
  • Para k=3:
\binom{1/2}{3}=\frac{\tfrac{1}{2}\bigl(\tfrac{1}{2}-1\bigr)\bigl(\tfrac{1}{2}-2\bigr)}{3!} =\frac{\tfrac{1}{2}\cdot(-\tfrac{1}{2})\cdot(-\tfrac{3}{2})}{6}=\frac{3}{48}=\tfrac{1}{16},
portanto \tfrac{1}{16}u^{3}=\tfrac{1}{16}x^{6}.
Assim, a expansão até ordem x^{6} é
\sqrt{1+x^{2}}=(1+x^{2})^{1/2}=1+\tfrac{1}{2}x^{2}-\tfrac{1}{8}x^{4}+\tfrac{1}{16}x^{6}+o(x^{6}),
onde o(x^{6}) indica termos de ordem estritamente superior a x^{6}.

Passo 5

Substituir essa expansão no numerador da expressão do limite:
\sqrt{1+x^{2}}-1-\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{8}x^{4} =\bigl(1+\tfrac{1}{2}x^{2}-\tfrac{1}{8}x^{4}+\tfrac{1}{16}x^{6}+o(x^{6})\bigr) -1-\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{8}x^{4}.
Agora simplificar termo a termo: 1-1 cancela, \tfrac{1}{2}x^{2}-\tfrac{1}{2}x^{2} cancela, -\tfrac{1}{8}x^{4}+\tfrac{1}{8}x^{4} cancela. Sobram os termos de ordem x^{6} e superiores:
\sqrt{1+x^{2}}-1-\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{8}x^{4}=\tfrac{1}{16}x^{6}+o(x^{6}).

Passo 6

Dividir pelo denominador x^{6}:
\frac{\sqrt{1+x^{2}}-1-\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{1}{8}x^{4}}{x^{6}} =\frac{\tfrac{1}{16}x^{6}+o(x^{6})}{x^{6}}=\tfrac{1}{16}+\frac{o(x^{6})}{x^{6}}.
Quando x\to 0 temos \dfrac{o(x^{6})}{x^{6}}\to 0. Portanto o limite existe e é \tfrac{1}{16}.

Resposta

\dfrac{1}{16}

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