Questão 1. (3,0 pontos). Considere as funções f(x), g(x) e h(x) definidas pelas seguintes expressões:
f(x)=\sqrt[3]{x-1} \quad, \quad g(x)=\frac{(x-2)(x+3)}{x^{2}-6 x+8}
, e
h(x)=\sqrt{4-x^{2}}
Responda aos itens abaixo:
Determine o domínio da função h(x), no conjunto dos números reais.

Passo 1

O enunciado fornece três funções, mas pede apenas o domínio da função
h(x)=\sqrt{4-x^{2}}.
Pergunta clara: determinar o conjunto de todos os números reais x para os quais h(x) está bem definida (ou seja, h(x) é um número real).

Passo 2

Conceito importante (explicação didática): a função raiz quadrada principal \sqrt{\cdot} está definida em números reais apenas quando o radicando é maior ou igual a zero. Em linguagem simples: não se pode tirar a raiz quadrada de um número negativo e esperar um resultado real. Portanto, para h(x) ser real precisamos que o radicando satisfaça
4-x^{2}\ge 0.

Passo 3

Resolver a desigualdade apresentada. Começo reescrevendo:
4-x^{2}\ge 0 \quad\Longleftrightarrow\quad x^{2}\le 4.
Uma forma direta de interpretar x^{2}\le 4 é usar valor absoluto: para x real, x^{2}\le 4 é equivalente a
|x|\le 2.
Isto significa que a distância de x até 0 não pode ser maior que 2.

Passo 4

Interpretando a desigualdade com valor absoluto em termos de intervalo: |x|\le 2 equivale a
-2\le x\le 2.
Outra forma de ver (para quem prefere sinal de produto): fatorando o radicando tem-se
4-x^{2}=(2-x)(2+x).
Fazendo o estudo de sinais dos fatores, obtém-se que o produto (2-x)(2+x) é não negativo somente quando x está entre -2 e 2, inclusive nos pontos em que o produto é zero.

Passo 5

Verificação de bordas e exemplos: em x=2 o radicando é zero, \sqrt{0}=0 está permitido; em x=0 tem-se \sqrt{4}=2; em x=3 o radicando é 4-9=-5, negativo, portanto não permitido. Logo o domínio inclui os extremos -2 e 2 e todos os pontos entre eles.

Passo 6

Conclusão final e dica de prova: sempre que aparecer \sqrt{\text{expressão}}ã em exercício de prova, escreva imediatamente a condição \text{expressão}\ge 0ã e resolva essa desigualdade por fatoração, uso de valor absoluto ou quadro de sinais — escolha o método mais rápido para você.

Resposta

[-2,2]

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