Questão 1. (3,0 pontos). Considere as funções
e
definidas pelas seguintes expressões:
, e
Responda aos itens abaixo:
Determine o domínio da função
, no conjunto dos números reais.
Determine o domínio da função
Passo 1
O enunciado fornece três funções, mas pede apenas o domínio da função
Pergunta clara: determinar o conjunto de todos os números reais
para os quais
está bem definida (ou seja,
é um número real).
Passo 2
Conceito importante (explicação didática): a função raiz quadrada principal
está definida em números reais apenas quando o radicando é maior ou igual a zero. Em linguagem simples: não se pode tirar a raiz quadrada de um número negativo e esperar um resultado real. Portanto, para
ser real precisamos que o radicando satisfaça
Passo 3
Resolver a desigualdade apresentada. Começo reescrevendo:
Uma forma direta de interpretar
é usar valor absoluto: para
real,
é equivalente a
Isto significa que a distância de
até
não pode ser maior que
.
Passo 4
Interpretando a desigualdade com valor absoluto em termos de intervalo:
equivale a
Outra forma de ver (para quem prefere sinal de produto): fatorando o radicando tem-se
Fazendo o estudo de sinais dos fatores, obtém-se que o produto
é não negativo somente quando
está entre
e
, inclusive nos pontos em que o produto é zero.
Passo 5
Verificação de bordas e exemplos: em
o radicando é zero,
está permitido; em
tem-se
; em
o radicando é
, negativo, portanto não permitido. Logo o domínio inclui os extremos
e
e todos os pontos entre eles.
Passo 6
Conclusão final e dica de prova: sempre que aparecer
em exercício de prova, escreva imediatamente a condição
e resolva essa desigualdade por fatoração, uso de valor absoluto ou quadro de sinais — escolha o método mais rápido para você.