Questāo 3. (2.5 pontos) Em um canteiro de obras, o tempo, em horas, que uma bomba de água leva para atingir a pressāo desejada varia de forma aleatória. Após análises estatísticas, constatou-se que o tempo médio até atingir a pressão é de 2 hora.
  1. Qual distribuiçāo de probabilidade é adequada para modelar o tempo até que a bomba atinja a pressão desejada?
  2. Calcule \mathrm{P}(0<X<2).
  3. Calcule \mathbb{P}(1<X<4).
  4. Calcule \mathbb{P}(X>3).

Passo 1

O enunciado diz que o tempo X (em horas) que a bomba leva para atingir a pressão desejada é uma variável aleatória com tempo médio igual a 2 horas. As perguntas são:
  1. Qual distribuição de probabilidade é adequada para modelar o tempo até que a bomba atinja a pressão desejada?
  2. Calcule \mathbb{P}(0<X<2).
  3. Calcule \mathbb{P}(1<X<4).
  4. Calcule \mathbb{P}(X>3).
Informações relevantes dadas:
  • A média de X é \,2 horas.

Passo 2

Decidir qual distribuição usar e parâmetros. Quando estamos modelando “tempo até um evento” (tempo até a bomba atingir a pressão) e só sabemos a média, um modelo natural é a distribuição exponencial, porque:
  • A exponencial é frequentemente usada para tempos de vida/espera quando os eventos ocorrem de forma aleatória e independente no tempo.
  • Tem a propriedade “sem memória” (não é obrigatório usar essa propriedade aqui, mas é uma justificativa clássica).
Definições e fórmulas da distribuição exponencial:
  • A variável aleatória X tem distribuição exponencial com parâmetro \lambda>0 se a sua função densidade é
f_X(x)=\lambda e^{-\lambda x},\qquad x\ge 0,
e zero para x<0.
  • A função de distribuição acumulada (CDF) é
F_X(x)=\mathbb{P}(X\le x)=1-e^{-\lambda x},\qquad x\ge 0.
  • A média (valor esperado) é
\mathbb{E}[X]=\frac{1}{\lambda}.
Aqui nos deram \mathbb{E}[X]=2. Então obtemos o parâmetro \lambda resolvendo \dfrac{1}{\lambda}=2, isto é
\lambda=\frac{1}{2}=0{,}5\\ \text{(por hora)}.

Passo 3

Calcular \mathbb{P}(0<X<2).
Observação: \mathbb{P}(0<X<2)=F_X(2)-F_X(0). Como F_X(0)=0 para a exponencial,
\mathbb{P}(0<X<2)=F_X(2)=1-e^{-\lambda\cdot 2}.
Substituindo \lambda=\tfrac{1}{2}:
\mathbb{P}(0<X<2)=1-e^{-(1/2)\cdot 2}=1-e^{-1}.
Valor numérico aproximado (usar e^{-1}\approx 0{,}367879):
\mathbb{P}(0<X<2)=1-e^{-1}\approx 0{,}6321.

Passo 4

Calcular \mathbb{P}(1<X<4).
Usamos novamente a CDF: \mathbb{P}(1<X<4)=F_X(4)-F_X(1). Então
\mathbb{P}(1<X<4)=\bigl(1-e^{-\lambda\cdot 4}\bigr)-\bigl(1-e^{-\lambda\cdot 1}\bigr)=e^{-\lambda\cdot 1}-e^{-\lambda\cdot 4}.
Com \lambda=\tfrac{1}{2} isso fica
\mathbb{P}(1<X<4)=e^{-(1/2)\cdot 1}-e^{-(1/2)\cdot 4}=e^{-1/2}-e^{-2}.
Valores numéricos: e^{-1/2}\approx 0{,}6065307 e e^{-2}\approx 0{,}1353353. Portanto
\mathbb{P}(1<X<4)\approx 0{,}6065-0{,}1353=0{,}4712.

Passo 5

Calcular \mathbb{P}(X>3).
Para a exponencial, \mathbb{P}(X>t)=1-F_X(t)=e^{-\lambda t}. Assim,
\mathbb{P}(X>3)=e^{-\lambda\cdot 3}.
Com \lambda=\tfrac{1}{2}:
\mathbb{P}(X>3)=e^{-(1/2)\cdot 3}=e^{-3/2}.
Valor numérico: e^{-3/2}=e^{-1{,}5}\approx 0{,}2231.
Dica prática para a prova: memorize que para exponencial com média \mu tem \lambda=1/\mu, e que probabilidades do tipo \mathbb{P}(a<X<b) são obtidas por e^{-\lambda a}-e^{-\lambda b}; e \mathbb{P}(X>t)=e^{-\lambda t}. Isso permite calcular rápido sem muita álgebra.

Resposta

  1. Exponencial com parâmetro \lambda=\tfrac{1}{2}\\ \text{h}^{-1}.
  2. \mathbb{P}(0<X<2)=1-e^{-1}\approx 0{,}6321.
  3. \mathbb{P}(1<X<4)=e^{-1/2}-e^{-2}\approx 0{,}4712.
  4. \mathbb{P}(X>3)=e^{-3/2}\approx 0{,}2231.

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