Questāo 3. (2.5 pontos) Em um canteiro de obras, o tempo, em horas, que uma bomba de água leva para atingir a pressāo desejada varia de forma aleatória. Após análises estatísticas, constatou-se que o tempo médio até atingir a pressão é de 2 hora.
- Qual distribuiçāo de probabilidade é adequada para modelar o tempo até que a bomba atinja a pressão desejada?
- Calcule
.
- Calcule
.
- Calcule
.
Passo 1
O enunciado diz que o tempo
(em horas) que a bomba leva para atingir a pressão desejada é uma variável aleatória com tempo médio igual a
horas. As perguntas são:
- Qual distribuição de probabilidade é adequada para modelar o tempo até que a bomba atinja a pressão desejada?
- Calcule
. - Calcule
. - Calcule
.
Informações relevantes dadas:
- A média de
é horas.
Passo 2
Decidir qual distribuição usar e parâmetros. Quando estamos modelando “tempo até um evento” (tempo até a bomba atingir a pressão) e só sabemos a média, um modelo natural é a distribuição exponencial, porque:
- A exponencial é frequentemente usada para tempos de vida/espera quando os eventos ocorrem de forma aleatória e independente no tempo.
- Tem a propriedade “sem memória” (não é obrigatório usar essa propriedade aqui, mas é uma justificativa clássica).
Definições e fórmulas da distribuição exponencial:
- A variável aleatória
tem distribuição exponencial com parâmetro se a sua função densidade é
e zero para
.
- A função de distribuição acumulada (CDF) é
- A média (valor esperado) é
Aqui nos deram
. Então obtemos o parâmetro
resolvendo
, isto é
Passo 3
Calcular
.
Observação:
. Como
para a exponencial,
Substituindo
:
Valor numérico aproximado (usar
):
Passo 4
Calcular
.
Usamos novamente a CDF:
. Então
Com
isso fica
Valores numéricos:
e
. Portanto
Passo 5
Calcular
.
Para a exponencial,
. Assim,
Com
:
Valor numérico:
Dica prática para a prova: memorize que para exponencial com média
tem
, e que probabilidades do tipo
são obtidas por
; e
. Isso permite calcular rápido sem muita álgebra.
Resposta
- Exponencial com parâmetro
. -
. -
. -
.