(a) Mostre que a solução da equação diferencial
onde
e
são constantes reais, e ambas as variáveis
e
são reais, é dada por
Dica: use o resultado da questão 4 escrevendo
(b) Mostre que a equação acima pode ser escrita como
onde
são respectivamente: o módulo da impedância, a reatância indutiva e a capacitiva.
Passo 1
O enunciado pede a solução estacionária da equação diferencial de um circuito RLC forçado
e depois reescrevê-la em termos de impedância. O conteúdo é o método de fasores ou coeficientes indeterminados para ODEs lineares de 2.º ordem com forçamento harmônico.
Passo 2
Primeiro escrevemos a equação na forma padrão
onde
Passo 3
Procuramos uma solução particular pela hipótese de fasor
Substituindo na ODE obtemos
Passo 4
Escrevendo
em forma polar, o módulo e a fase são
Assim a parte real dá
o que prova a forma pedida em (a).
Passo 5
Para obter (b), usamos
,
,
e definimos
e definimos
Note que
Logo o módulo de
fica
e assim
como pedido em (b).
Resposta
(a)
(b)