(a) Mostre que a solução da equação diferencial
L \frac{d^{2} q}{d t^{2}}+R \frac{d q}{d t}+\frac{q}{C}=\varepsilon_{0} \cos \omega t
onde L, R, C, \varepsilon_{0} e \omega são constantes reais, e ambas as variáveis q e t são reais, é dada por
q(t)=\frac{f_{0}}{\sqrt{\left(\omega_{0}^{2}-\omega^{2}\right)^{2}+\gamma^{2} \omega^{2}}} \cos \left(\omega t-\varphi_{0}\right)
Dica: use o resultado da questão 4 escrevendo
\frac{d^{2} q}{d t^{2}}+\gamma \frac{d q}{d t}+\omega_{0}^{2} q=f_{0} \cos \omega t: \quad \gamma=\frac{R}{L} ; \omega_{0}^{2}=\frac{1}{L C} \text { e } f_{0}=\frac{\varepsilon_{0}}{L}
(b) Mostre que a equação acima pode ser escrita como
q(t)=\frac{\varepsilon_{0}}{\omega \sqrt{\left(X_{C}-X_{L}\right)^{2}+R^{2}}} \cos \left(\omega t-\varphi_{0}\right)
onde
Z=\sqrt{\left(X_{C}-X_{L}\right)^{2}+R^{2}} ; \quad X_{L}=\omega L \quad \text { e } \quad X_{C}=\frac{1}{\omega C}
são respectivamente: o módulo da impedância, a reatância indutiva e a capacitiva.

Passo 1

O enunciado pede a solução estacionária da equação diferencial de um circuito RLC forçado
L \frac{d^{2}q}{dt^{2}}+R \frac{dq}{dt}+\frac{q}{C}=\varepsilon_{0}\cos\omega t
e depois reescrevê-la em termos de impedância. O conteúdo é o método de fasores ou coeficientes indeterminados para ODEs lineares de 2.º ordem com forçamento harmônico.

Passo 2

Primeiro escrevemos a equação na forma padrão
\frac{d^{2}q}{dt^{2}}+\gamma\frac{dq}{dt}+\omega_{0}^{2}q=f_{0}\cos\omega t
onde
\gamma=\frac{R}{L},\quad \omega_{0}^{2}=\frac{1}{LC},\quad f_{0}=\frac{\varepsilon_{0}}{L}.

Passo 3

Procuramos uma solução particular pela hipótese de fasor
q_{p}(t)=\Re\bigl\{Q\,e^{i\omega t}\bigr\}.
Substituindo na ODE obtemos
(-\omega^{2}+i\gamma\omega+\omega_{0}^{2})\,Q\,e^{i\omega t}=f_{0}\,e^{i\omega t} \;\Longrightarrow\; Q=\frac{f_{0}}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}+i\,\gamma\omega}.

Passo 4

Escrevendo Q em forma polar, o módulo e a fase são
|Q|=\frac{f_{0}}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+(\gamma\omega)^{2}}}, \qquad \varphi_{0}=\arctan\!\bigl(\tfrac{\gamma\omega}{\omega_{0}^{2}-\omega^{2}}\bigr).
Assim a parte real dá
q(t) =\;|Q|\;\cos\bigl(\omega t-\varphi_{0}\bigr) =\frac{f_{0}}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}} \cos\bigl(\omega t-\varphi_{0}\bigr),
o que prova a forma pedida em (a).

Passo 5

Para obter (b), usamos \;f_{0}=\varepsilon_{0}/L, \;\gamma=R/L,
e definimos
X_{L}=\omega L,\quad X_{C}=\frac{1}{\omega C},\quad Z=\sqrt{(X_{C}-X_{L})^{2}+R^{2}}.
Note que
(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+(\gamma\omega)^{2} =\frac{1}{L^{2}}\Bigl[(X_{C}-X_{L})^{2}+R^{2}\Bigr]\omega^{2} =\frac{\omega^{2}}{L^{2}}\,Z^{2}.
Logo o módulo de Q fica
\frac{f_{0}}{\sqrt{\dots}} =\frac{\varepsilon_{0}/L}{(\omega/L)\,Z} =\frac{\varepsilon_{0}}{\omega\,Z},
e assim
q(t) =\frac{\varepsilon_{0}}{\omega\,\sqrt{(X_{C}-X_{L})^{2}+R^{2}}} \cos\bigl(\omega t-\varphi_{0}\bigr),
como pedido em (b).

Resposta

(a) q(t)=\frac{f_{0}}{\sqrt{(\omega_{0}^{2}-\omega^{2})^{2}+\gamma^{2}\omega^{2}}} \cos\bigl(\omega t-\varphi_{0}\bigr).
(b) q(t)=\frac{\varepsilon_{0}}{\omega\,\sqrt{(X_{C}-X_{L})^{2}+R^{2}}} \cos\bigl(\omega t-\varphi_{0}\bigr).

Exercícios relacionados