Questão 1. ( 2,5 pontos) As cargas q_{1}=200 \mu \mathrm{C}, q_{2}=-100 \mu \mathrm{C} e q_{3}=400 \mu \mathrm{C} estão respectivamente posicionadas nas coordenadas (5,-2),(5,3) e (-1,-1) do plano XY. As posições são medidas em metros. Calcule o vetor força elétrica resultante produzido sobre uma carga Q=1,0 \mathrm{nC} posicionada na origem do sistema de coordenadas.

Passo 1

O enunciado pede o vetor força elétrica resultante sobre uma carga Q=1{,}0,nC colocada na origem devido às três cargas
q_{1}=200\}\mu\text{C},\quad q_{2}=-100\}\mu\text{C},\quad q_{3}=400\}\mu\text{C}
localizadas em (5,-2), (5,3) e (-1,-1) (em metros).
O conteúdo é a Lei de Coulomb em forma vetorial: para cada carga q_i em \mathbf{r}_i e carga-teste Q em \mathbf{r}_0,
\mathbf{F}_i \;=\; k\,Q\,q_i\;\frac{\mathbf{r}_0-\mathbf{r}_i}{\|\mathbf{r}_0-\mathbf{r}_i\|^3},
onde k=8{,}988\times10^9,N· m^{2}/ C^{2}. Aqui \mathbf{r}_0=(0,0). Vamos achar \mathbf{F}_1,\mathbf{F}_2,\mathbf{F}_3 e somar.

Passo 2

Definimos os vetores posição e suas distâncias:
\mathbf{r}_1=(5,-2),\quad \|\mathbf{r}_1\|=\sqrt{5^2+(-2)^2}=\sqrt{29},
\mathbf{r}_2=(5,3),\quad \|\mathbf{r}_2\|=\sqrt{5^2+3^2}=\sqrt{34},
\mathbf{r}_3=(-1,-1),\quad \|\mathbf{r}_3\|=\sqrt{(-1)^2+(-1)^2}=\sqrt{2}.
As cargas em Coulomb são
Q=1{,}0\times10^{-9}\,\text{C},\quad q_1=200\times10^{-6}\,\text{C},\quad q_2=-100\times10^{-6}\,\text{C},\quad q_3=400\times10^{-6}\,\text{C}.

Passo 3

Cálculo de \mathbf{F}_1 devido a q_1:
\mathbf{F}_1 = k\,Q\,q_1\;\frac{-\mathbf{r}_1}{\|\mathbf{r}_1\|^3} =8{,}988\times10^9\cdot(1{,}0\times10^{-9})\cdot(200\times10^{-6}) \;\frac{(-5,2)}{(\sqrt{29})^3}.
Numericamente,
(\sqrt{29})^3=29\sqrt{29}\approx156{,}17,\quad k\,Q\,q_1\approx1{,}7976\times10^{-3},
\mathbf{F}_1\approx\frac{1{,}7976\times10^{-3}}{156{,}17}(-5,2) \approx(-5{,}75\times10^{-5},\;2{,}30\times10^{-5})\;\text{N}.

Passo 4

Cálculo de \mathbf{F}_2 devido a q_2:
\mathbf{F}_2 = k\,Q\,q_2\;\frac{-\mathbf{r}_2}{\|\mathbf{r}_2\|^3} =8{,}988\times10^9\,(1{,}0\times10^{-9})(-100\times10^{-6}) \;\frac{(-5,-3)}{(\sqrt{34})^3}.
Numericamente,
(\sqrt{34})^3=34\sqrt{34}\approx198{,}25,\quad k\,Q\,q_2\approx-8{,}988\times10^{-4},
\mathbf{F}_2\approx\frac{-8{,}988\times10^{-4}}{198{,}25}(-5,-3) \approx(2{,}27\times10^{-5},\;1{,}36\times10^{-5})\;\text{N}.

Passo 5

Cálculo de \mathbf{F}_3 devido a q_3:
\mathbf{F}_3 = k\,Q\,q_3\;\frac{-\mathbf{r}_3}{\|\mathbf{r}_3\|^3} =8{,}988\times10^9\,(1{,}0\times10^{-9})(400\times10^{-6}) \;\frac{(1,1)}{(\sqrt{2})^3}.
Numericamente,
(\sqrt{2})^3=2\sqrt{2}\approx2{,}828,\quad k\,Q\,q_3\approx3{,}5952\times10^{-3},
\mathbf{F}_3\approx\frac{3{,}5952\times10^{-3}}{2{,}828}(1,1) \approx(1{,}27\times10^{-3},\;1{,}27\times10^{-3})\;\text{N}.

Passo 6

Somamos as três contribuições componente a componente:
F_{x} = -5{,}75\times10^{-5} + 2{,}27\times10^{-5} + 1{,}27\times10^{-3} \approx1{,}236\times10^{-3}\;\text{N},
F_{y} = 2{,}30\times10^{-5} + 1{,}36\times10^{-5} + 1{,}27\times10^{-3} \approx1{,}308\times10^{-3}\;\text{N}.
Logo o vetor força resultante é
\mathbf{F}_{\mathrm{res}} \approx (1{,}236\times10^{-3})\,\hat{\imath} \;+\;(1{,}308\times10^{-3})\,\hat{\jmath}\;\text{N}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{F}_{\mathrm{res}}\approx (1{,}24\times10^{-3})\,\hat{\imath}+(1{,}31\times10^{-3})\,\hat{\jmath}\;\text{N}.

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