Num experimento de espalhamento Compton, um elétron de massa m_{0} em repouso espalha um fóton de comprimento de onda \lambda=2 \lambda_{C}. Após o espalhamento, o fóton perde metade de sua energia. (a)Determine o comprimento de onda do fóton (em função de \lambda_{C} ) espalhado e determine o seu ângulo de espalhamento. (b) Calcule a energia total e o momento linear do elétron após a colisão (expresse a resposta em função de m_{0} e c )

Passo 1

O enunciado diz que um fóton de comprimento de onda \lambda=2\lambda_{C} incide num elétron em repouso e, após o espalhamento, o fóton perde metade de sua energia.
Conteúdo: espalhamento Compton, fórmula do deslocamento de comprimento de onda
\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = \lambda_{C}\bigl(1 - \cos\theta\bigr),
conservação relativística de energia e momento.

Passo 2

Calcular o comprimento de onda \lambda' usando que o fóton final tem energia metade da inicial.
Energia inicial
E_{i} = \frac{hc}{\lambda} = \frac{hc}{2\lambda_{C}}
Energia final
E_{f} = \frac{E_{i}}{2} = \frac{hc}{4\lambda_{C}}
Logo
\lambda' = \frac{hc}{E_{f}} = 4\,\lambda_{C}.

Passo 3

Determinar o ângulo \theta usando a fórmula de Compton.
\Delta \lambda = \lambda' - \lambda = 4\lambda_{C} - 2\lambda_{C} = 2\lambda_{C}
Então
2\lambda_{C} = \lambda_{C}\bigl(1-\cos\theta\bigr) \quad\Rightarrow\quad 1-\cos\theta = 2 \quad\Rightarrow\quad \cos\theta = -1 \quad\Rightarrow\quad \theta = \pi.

Passo 4

Energia do elétron depois da colisão: conservação de energia
E_{i} + m_{0}c^{2} = E_{f} + E_{e}
E_{e} = m_{0}c^{2} + \bigl(E_{i}-E_{f}\bigr) = m_{0}c^{2} + \frac{hc}{2\lambda_{C}} - \frac{hc}{4\lambda_{C}} = m_{0}c^{2} + \frac{m_{0}c^{2}}{2} - \frac{m_{0}c^{2}}{4} = \frac{5}{4}\,m_{0}c^{2}.

Passo 5

Momento do elétron: conservação de momento vetorial. Tomando o fóton inicial para a direita e o fóton final para a esquerda (ângulo \pi),
p_{i} = \frac{E_{i}}{c} = \frac{m_{0}c}{2}, \quad p_{f} = \frac{E_{f}}{c} = \frac{m_{0}c}{4}.
Como \vec p_{i} = \vec p_{f} + \vec p_{e} e \vec p_{f} aponta para o lado oposto de \vec p_{i},
p_{e} = p_{i} + p_{f} = \frac{m_{0}c}{2} + \frac{m_{0}c}{4} = \frac{3}{4}\,m_{0}c.
Verificação via E_{e}^{2} = p_{e}^{2}c^{2}+m_{0}^{2}c^{4} confirma E_{e}=(5/4)m_{0}c^{2}.

Resposta

a) \lambda' = 4\,\lambda_{C} e \theta = \pi.
b) E_{e} = \frac{5}{4}\,m_{0}c^{2}, p_{e} = \frac{3}{4}\,m_{0}c.

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