Um carro percorre uma curva plana de tal modo que suas coordenadas retangulares, como funções do tempo, são dadas por x=2 t^{3}-3 t^{2}, y=t^{2}-2 t+1. Admitindo t como dado em segundos e x em metros, calcule (a) a posição do carro quando t=1 s, (b) as componentes retangulares da velocidade num instante qualquer, (c) as componentes retangulares da velocidade para t=1 s, (d) a velocidade num instante qualquer, (e) a velocidade para t=0, (f) o instante em que a velocidade é zero, (g) as componentes retangulares da aceleração num instante qualquer, (h) as componentes retangulares da aceleração para t=1 s, (i) a aceleração num instante qualquer, (j) a aceleração para t=0.

Passo 1

O enunciado dá as equações paramétricas do movimento de um carro em função do tempo t:
x(t)=2t^{3}-3t^{2}, \quad y(t)=t^{2}-2t+1.
Precisamos calcular posição, componentes de velocidade e aceleração, seus módulos e instantes em que certas condições ocorrem. Usaremos derivação para obter velocidade e aceleração.

Passo 2

Para obter a posição quando t=1, substituímos diretamente em x(t) e y(t):
x(1)=2\cdot1^{3}-3\cdot1^{2}=2-3=-1, \quad y(1)=1^{2}-2\cdot1+1=1-2+1=0.

Passo 3

As componentes retangulares da velocidade são as derivadas de x(t) e y(t) em relação a t:
v_x(t)=\frac{dx}{dt}=6t^{2}-6t, \quad v_y(t)=\frac{dy}{dt}=2t-2.

Passo 4

Em t=1, calcula-se
v_x(1)=6\cdot1^{2}-6\cdot1=6-6=0, \quad v_y(1)=2\cdot1-2=0.

Passo 5

O módulo da velocidade num instante genérico é
v(t)=\sqrt{v_x(t)^{2}+v_y(t)^{2}} =\sqrt{\bigl(6t(t-1)\bigr)^{2}+\bigl(2(t-1)\bigr)^{2}} =|t-1|\sqrt{36t^{2}+4} =2\,|t-1|\sqrt{9t^{2}+1}.

Passo 6

Para t=0,
v(0)=\sqrt{v_x(0)^{2}+v_y(0)^{2}} =\sqrt{0^{2}+(-2)^{2}}=2.

Passo 7

Para achar o instante em que a velocidade é zero, igualamos v_x(t)=0 e v_y(t)=0:
6t(t-1)=0\implies t=0\text{ ou }t=1, \quad 2t-2=0\implies t=1.
Assim, o único instante que satisfaz ambas é t=1.

Passo 8

As componentes da aceleração vêm de derivar v_x(t) e v_y(t):
a_x(t)=\frac{dv_x}{dt}=12t-6, \quad a_y(t)=\frac{dv_y}{dt}=2.

Passo 9

Em t=1 obtemos
a_x(1)=12\cdot1-6=6, \quad a_y(1)=2.

Passo 10

O módulo da aceleração num instante genérico é
a(t)=\sqrt{a_x(t)^{2}+a_y(t)^{2}} =\sqrt{(12t-6)^{2}+2^{2}} =\sqrt{144t^{2}-144t+40}.

Passo 11

Para t=0,
a_x(0)=-6,\quad a_y(0)=2, \quad a(0)=\sqrt{(-6)^{2}+2^{2}}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}.

Resposta

(a) \bigl(x(1),y(1)\bigr)=(-1,0).
(b) v_x(t)=6t^{2}-6t, v_y(t)=2t-2.
(c) v_x(1)=0, v_y(1)=0.
(d) v(t)=2\,|t-1|\sqrt{9t^{2}+1}.
(e) v(0)=2.
(f) t=1.
(g) a_x(t)=12t-6, a_y(t)=2.
(h) a_x(1)=6, a_y(1)=2.
(i) a(t)=\sqrt{144t^{2}-144t+40}.
(j) a(0)=2\sqrt{10}.

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