• Qúestão 3 (2 pontos). Quando certas substâncias químicas sảo combinadas, a taxa segundo a qual um novo composto eformado satisfaz a equação diferencial
d yd t=k(alpha-y)(beta-y), y(0)=y0
onde y(t) denota a quantidade do novo composto formado e k, alpha e beta são constantes positivas. com lambda>alpha>0.
b) Faça um esboço das soluções desta equação dferescial, considerando y0 >= 0. Não esçreça de analisar os pontos de troca de concavidade das solu ģōes.

Passo 1

Este exercício estuda a equação diferencial autônoma de primeira ordem
dydt = k(alpha - y)(beta - y), y(0) = y0,
onde k, \alpha e \beta são constantes positivas com \beta > \alpha > 0. Vamos usar análise qualitativa de EDOs autônomas para encontrar pontos de equilíbrio, avaliar estabilidade e esboçar as soluções; além disso, analisar a concavidade através da segunda derivada.

Passo 2

Encontramos os pontos de equilíbrio resolvendo
f(y) = k(alpha - y)(beta - y) = 0,
o que dá y = alpha e y = beta. Para avaliar estabilidade basta observar o sinal de f(y) imediatamente à esquerda e à direita de cada ponto.

Passo 3

Analisando o sinal de f(y) em cada intervalo:
  • Para y < alpha: alpha - y > 0 e beta - y > 0 f(y)>0 (soluções crescem).
  • Para alpha < y < beta: alpha - y < 0 e beta - y > 0 f(y)<0 (soluções decrescem).
  • Para y > beta: alpha - y < 0 e beta - y < 0 f(y)>0 (soluções crescem).

Passo 4

Calculamos a segunda derivada para analisar a concavidade. Primeiro notamos que
f'(y) = -k(alpha + beta - 2y),
e portanto
y'' = f'(y),f(y) = -k(alpha + beta - 2y) cdot k(alpha - y)(beta - y)
O ponto de inflexão ocorre quando y'' = 0, ou seja
y = alpha + beta2

Passo 5

Com base nessas informações, esboçamos qualitativamente as curvas y(t) versus t para y0 >= 0:
  • 0 <= y0 < alpha: crescimento monótono e côncavo para baixo (pois y), aproxima-se assintoticamente de alpha.
  • y0 = alpha ou y0 = beta: solução constante.
  • alpha < y0 < beta: decrescimento monótono até alpha, com ponto de inflexão em y=tfracalpha+beta2. Antes desse valor, concavidade para cima; depois, concavidade para baixo.
  • y0 > beta: crescimento monótono e côncavo para cima (pois y>beta>tfracalpha+beta2), com tendência a explosão em tempo finito.

Resposta

As soluções se comportam assim:
  • Se 0 <= y0 < alpha: y(t) cresce monotonamente e é côncavo para baixo, aproximando-se de alpha quando ttoinfty.
  • Se y0 = alpha ou y0 = beta: y(t) é constante.
  • Se alpha < y0 < beta: y(t) decresce monotonamente até alpha, com ponto de inflexão em y = tfracalpha+beta2; antes desse ponto, concavidade para cima, depois, para baixo.
  • Se y0 > beta: y(t) cresce monotonamente e é côncavo para cima, tendendo a divergir em tempo finito.

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