- Qúestão 3 (2 pontos). Quando certas substâncias químicas sảo combinadas, a taxa segundo a qual um novo composto eformado satisfaz a equação diferencial
onde
denota a quantidade do novo composto formado e
e
são constantes positivas. com
.
b) Faça um esboço das soluções desta equação dferescial, considerando
. Não esçreça de analisar os pontos de troca de concavidade das solu ģōes.
b) Faça um esboço das soluções desta equação dferescial, considerando
Passo 1
Este exercício estuda a equação diferencial autônoma de primeira ordem
onde k, \alpha e \beta são constantes positivas com \beta > \alpha > 0. Vamos usar análise qualitativa de EDOs autônomas para encontrar pontos de equilíbrio, avaliar estabilidade e esboçar as soluções; além disso, analisar a concavidade através da segunda derivada.
Passo 2
Encontramos os pontos de equilíbrio resolvendo
o que dá
e
. Para avaliar estabilidade basta observar o sinal de
imediatamente à esquerda e à direita de cada ponto.
Passo 3
Analisando o sinal de
em cada intervalo:
- Para
: e ⇒ (soluções crescem). - Para
: e ⇒ (soluções decrescem). - Para
: e ⇒ (soluções crescem).
Passo 4
Calculamos a segunda derivada para analisar a concavidade. Primeiro notamos que
e portanto
O ponto de inflexão ocorre quando
, ou seja
Passo 5
Com base nessas informações, esboçamos qualitativamente as curvas
versus
para
:
-
: crescimento monótono e côncavo para baixo (pois ), aproxima-se assintoticamente de . -
ou : solução constante. -
: decrescimento monótono até , com ponto de inflexão em . Antes desse valor, concavidade para cima; depois, concavidade para baixo. -
: crescimento monótono e côncavo para cima (pois ), com tendência a explosão em tempo finito.
Resposta
As soluções se comportam assim:
- Se
: cresce monotonamente e é côncavo para baixo, aproximando-se de quando . - Se
ou : é constante. - Se
: decresce monotonamente até , com ponto de inflexão em ; antes desse ponto, concavidade para cima, depois, para baixo. - Se
: cresce monotonamente e é côncavo para cima, tendendo a divergir em tempo finito.