Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada
, onde
é a fronteira da região limitada por
orientada positivamente.
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha
usando o Teorema de Green, onde
P(x,y)=\frac{e^y}{x} e Q(x,y)=e^y\ln x + 2x.
A curva é a fronteira orientada positivamente da região
limitada pelas curvas
e
.
P(x,y)=\frac{e^y}{x} e Q(x,y)=e^y\ln x + 2x.
A curva
Passo 2
Pelo Teorema de Green temos
Passo 3
Calculamos as derivadas parciais:
Logo o integrando fica:
Passo 4
Agora precisamos calcular
A região
em coordenadas
é dada por
e a condição
impõe
.
Passo 5
A área de
é
Passo 6
Portanto a integral de linha vale