Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada
integralC e^yx d x+(e^y ln x+2 x) d y, onde C é a fronteira da região limitada por x=y^4+1 e x=2 orientada positivamente.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha integralC P,dx + Q,dy usando o Teorema de Green, onde
P(x,y)=\frac{e^y}{x} e Q(x,y)=e^y\ln x + 2x.
A curva C é a fronteira orientada positivamente da região D limitada pelas curvas x = y^4 + 1 e x = 2.

Passo 2

Pelo Teorema de Green temos
ointC P,dx + Q,dy = integral duplaD l(partial Qpartial x - partial Ppartial yr),dA

Passo 3

Calculamos as derivadas parciais:
partial Qpartial x = e^yx + 2, partial Ppartial y = e^yx
Logo o integrando fica:
partial Qpartial x - partial Ppartial y = l(e^yx + 2r) - e^yx = 2

Passo 4

Agora precisamos calcular
integral duplaD 2,dA = 2 cdot Área(D) Á
A região D em coordenadas (x,y) é dada por
y^4 + 1 <= x <= 2,
e a condição y^4 + 1 <= 2 impõe -1 <= y <= 1.

Passo 5

A área de D é
Área(D) = integraly=-1^1 integralx=y^4+1^2 dx,dy = integral-1^1 l(2 - (y^4+1)r) dy = integral-1^1 (1 - y^4) dy = 2 integral0^1 (1 - y^4) dy = 2 l[y - tfracy^55r]0^1 = 85 Á

Passo 6

Portanto a integral de linha vale
ointC P,dx + Q,dy = 2 times 85 = 165

Resposta

165

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