Questão 3: (2.5 pontos)
Numa colônia de bactérias, sabe-se que a população cresce a uma taxa proporcional à quantidade de bactérias presente num determinado instante de tempo. Se a massa de bactérias
no instante
cresce de 1 grama para 50 gramas em 12 horas, determine o valor de
após 18 horas.
Numa colônia de bactérias, sabe-se que a população cresce a uma taxa proporcional à quantidade de bactérias presente num determinado instante de tempo. Se a massa de bactérias
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (peguei todas as informações do enunciado):
- A massa de bactérias é representada por
, função do tempo (em horas). - A taxa de crescimento é proporcional à quantidade presente num instante, ou seja, existe uma constante de proporcionalidade
tal que a variação obedece a uma relação proporcional. - Foi informado que a massa cresce de
grama para gramas em horas. Vou tomar isso como: e . - O que se pede: determinar
, a massa após horas.
Passo 2
Montar o modelo matemático: “crescimento à taxa proporcional à quantidade” significa que a derivada de
em relação a
é proporcional a
. Escreve-se isso como
onde:
-
é a taxa de variação instantânea da massa (gramas por hora), -
é a constante de proporcionalidade (unidade: ); se há crescimento exponencial.
Passo 3
Resolver a equação diferencial por separação de variáveis. Reescrevendo e separando
e
:
Integramos os dois lados em relação às suas variáveis:
A integral do lado esquerdo é
e a do lado direito é
mais constante. Assim:
onde
é a constante de integração.
Passo 4
Eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados para obter
explicitamente:
Denotando
, fica a forma clássica do crescimento exponencial:
Pela condição inicial tomada,
, então
e
Passo 5
Usar a condição
para determinar
. Substituindo:
Tomando o logaritmo natural,
Passo 6
Calcular
usando a expressão geral e o valor de
:
Simplificando o fator
e usando a propriedade
, obtemos
Também é útil escrever em forma radical ou fatorada:
Passo 7
Dar uma aproximação numérica (útil para interpretar o resultado). Como
,
Arredondando razoavelmente:
.