Questão 3: (2.5 pontos)
Numa colônia de bactérias, sabe-se que a população cresce a uma taxa proporcional à quantidade de bactérias presente num determinado instante de tempo. Se a massa de bactérias p(t) no instante t cresce de 1 grama para 50 gramas em 12 horas, determine o valor de p(t) após 18 horas.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (peguei todas as informações do enunciado):
  • A massa de bactérias é representada por p(t), função do tempo t (em horas).
  • A taxa de crescimento é proporcional à quantidade presente num instante, ou seja, existe uma constante de proporcionalidade k tal que a variação obedece a uma relação proporcional.
  • Foi informado que a massa cresce de 1 grama para 50 gramas em 12 horas. Vou tomar isso como: p(0)=1\\ \text{g} e p(12)=50\\ \text{g}.
  • O que se pede: determinar p(18), a massa após 18 horas.

Passo 2

Montar o modelo matemático: “crescimento à taxa proporcional à quantidade” significa que a derivada de p em relação a t é proporcional a p. Escreve-se isso como
\frac{dp}{dt}=k\,p,
onde:
  • \frac{dp}{dt} é a taxa de variação instantânea da massa (gramas por hora),
  • k é a constante de proporcionalidade (unidade: \text{hora}^{-1}); se k>0 há crescimento exponencial.

Passo 3

Resolver a equação diferencial por separação de variáveis. Reescrevendo e separando p e t:
\frac{1}{p}\,dp = k\,dt.
Integramos os dois lados em relação às suas variáveis:
\int \frac{1}{p}\,dp = \int k\,dt.
A integral do lado esquerdo é \ln|p| e a do lado direito é kt mais constante. Assim:
\ln|p| = kt + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 4

Eliminar o logaritmo exponenciando ambos os lados para obter p explicitamente:
p(t)=e^{kt+C}=e^{C}e^{kt}.
Denotando p(0)=p_0=e^{C}, fica a forma clássica do crescimento exponencial:
p(t)=p_0\,e^{kt}.
Pela condição inicial tomada, p(0)=1\\ \text{g}, então p_0=1 e
p(t)=e^{kt}.

Passo 5

Usar a condição p(12)=50\\ \text{g} para determinar k. Substituindo:
50 = p(12)=e^{12k}.
Tomando o logaritmo natural,
12k=\ln(50)\quad\Rightarrow\quad k=\frac{\ln(50)}{12}.

Passo 6

Calcular p(18) usando a expressão geral e o valor de k:
p(18)=e^{18k}=e^{18\cdot\frac{\ln(50)}{12}}=e^{\frac{18}{12}\ln(50)}.
Simplificando o fator \frac{18}{12}=\frac{3}{2} e usando a propriedade e^{a\ln b}=b^{a}, obtemos
p(18)=50^{3/2}.
Também é útil escrever em forma radical ou fatorada:
50^{3/2}=50\sqrt{50}=250\sqrt{2}.

Passo 7

Dar uma aproximação numérica (útil para interpretar o resultado). Como \sqrt{2}\approx1,41421356,
p(18)=250\sqrt{2}\approx 250\cdot1,41421356\approx 353,55339\\ \text{g}.
Arredondando razoavelmente: p(18)\approx 353,55\\ \text{g}.

Resposta

p(18)=50^{3/2}\\ \text{g}=250\sqrt{2}\\ \text{g}\approx 353,55\\ \text{g}

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