Questão 3 (3,5 pontos)
Em um condutor cilíndrico de raio de R, a densidade de corrente varia com a coordenada radial de acordo com a equação J=2 i0pi R^2[1-(rR)^2](A / m^2). Determine a corrente total i que atravessa o condutor em função de i0.

Passo 1

O enunciado dá um condutor cilíndrico de raio R em que a densidade de corrente varia radialmente segundo
J(r)=2,i0pi R^2l[1-l(rRr)^2r] l(A/m^2r)
e pede a corrente total i que atravessa a seção. O conteúdo aqui é integrar uma densidade de corrente numa área circular, usando coordenadas cilíndricas.

Passo 2

Em coordenadas cilíndricas, um elemento de área na seção é dA = r,dtheta,dr. Integrando J(r) em theta de 0 a 2pi e em r de 0 a R
i = integralárea J,dA = integral0^R!integral0^2pi J(r),r,dtheta,dr = 2pi integral0^R J(r),r,dr á

Passo 3

Substituindo J(r) e extraindo constantes:
i = 2pi integral0^R 2,i0pi R^2l[1-r^2R^2r],r,dr = 4,i0R^2 integral0^Rl(r - r^3R^2r),dr

Passo 4

Calcule o integral:
integral0^Rl(r - r^3R^2r),dr = l[tfracr^22 - r^44R^2r]0^R = R^22 - R^24 = R^24

Passo 5

Multiplicando:
i = 4,i0R^2times R^24 = i0

Resposta

i = i0

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