Questão 3: (2 pontos) Considere a seguinte matriz
A=\left(\begin{array}{lll} 1 & 0 & x \\\\ 1 & 1 & x^{2} \\\\ 2 & 2 & x^{2} \end{array}\right) .
Determine se a matriz A é invertível. No caso que A for invertível, calcular sua inversa A^{-1}.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & x\\[4pt] 1 & 1 & x^{2}\\[4pt] 2 & 2 & x^{2} \end{pmatrix}
e pede para determinar se A é invertível. Caso seja invertível, pede para calcular A^{-1}.
Informações relevantes do enunciado:
\text{A matriz }A\text{ depende do parâmetro }x\in\mathbb{R}.â
As perguntas são:
  1. Para quais valores de x a matriz A é invertível?
  2. Quando for invertível, encontrar explicitamente A^{-1}.]

Passo 2

O que significa “invertível” aqui e como decidir isso na prática: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o determinante dela é diferente de zero. Portanto vamos calcular o determinante de A. Para uma matriz 3\times3,
\det\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix}=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Aplicando essa fórmula à nossa matriz, identificamos
a=1,\; b=0,\; c=x,\; d=1,\; e=1,\; f=x^{2},\; g=2,\; h=2,\; i=x^{2}.]

Passo 3

Agora calculamos o determinante passo a passo usando a fórmula do Passo 2:
\begin{aligned} \det(A)&=1\cdot(1\cdot x^{2}-x^{2}\cdot 2)-0\cdot(\cdots)+x\cdot(1\cdot 2-1\cdot 2)\\[6pt] &=1\cdot(x^{2}-2x^{2})+0 + x\cdot(2-2)\\[6pt] &=-x^{2}+0+0\\[6pt] &=-x^{2}. \end{aligned}
Portanto \det(A)=-x^{2}.]

Passo 4

Conclusão sobre invertibilidade a partir do determinante: \det(A)=-x^{2} é diferente de zero exatamente quando x\neq 0. Logo:
  • Se x\neq 0 então \det(A)\neq0 e A é invertível.
  • Se x=0 então \det(A)=0 e A não é invertível.
Um comentário rápido para ver diretamente o caso x=0: se x=0 a terceira coluna de A fica \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, ou seja, uma coluna nula — daí a matriz tem coluna linearmente dependente e não é invertível.

Passo 5

Método escolhido para achar A^{-1} quando x\neq0: vou usar a fórmula clássica
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (transposta da matriz dos cofatores). Vou calcular a matriz de cofatores elemento a elemento (cada cofator é (-1)^{i+j} vezes o determinante do menor correspondente).

Passo 6

Calculo dos menores e cofatores. Para clareza, escrevo cada menor M_{ij} e o cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
  • M_{11}=\det\begin{pmatrix}1 & x^{2}\\[4pt]2 & x^{2}\end{pmatrix}=1\cdot x^{2}-x^{2}\cdot 2=-x^{2}. Então C_{11}=(-1)^{2}M_{11}=-x^{2}.
  • M_{12}=\det\begin{pmatrix}1 & x^{2}\\[4pt]2 & x^{2}\end{pmatrix}=-x^{2} (mesmo menor que acima). Então C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot(-x^{2})=x^{2}.
  • M_{13}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix}=1\cdot 2-1\cdot 2=0. Então C_{13}=0.
  • M_{21}=\det\begin{pmatrix}0 & x\\[4pt]2 & x^{2}\end{pmatrix}=0\cdot x^{2}-x\cdot 2=-2x. Então C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1\cdot(-2x)=2x.
  • M_{22}=\det\begin{pmatrix}1 & x\\[4pt]2 & x^{2}\end{pmatrix}=1\cdot x^{2}-x\cdot 2=x^{2}-2x. Então C_{22}=x^{2}-2x (sinal positivo porque 2+2 é par).
  • M_{23}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix}=1\cdot 2-0\cdot 2=2. Então C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-2.
  • M_{31}=\det\begin{pmatrix}0 & x\\[4pt]1 & x^{2}\end{pmatrix}=0\cdot x^{2}-x\cdot 1=-x. Então C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=+1\cdot(-x)=-x.
  • M_{32}=\det\begin{pmatrix}1 & x\\[4pt]1 & x^{2}\end{pmatrix}=1\cdot x^{2}-x\cdot 1=x^{2}-x. Então C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=- (x^{2}-x)=-x^{2}+x.
  • M_{33}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot 1-0\cdot 1=1. Então C_{33}=1.
A matriz dos cofatores C=(C_{ij}) fica:
C=\begin{pmatrix} -x^{2} & x^{2} & 0\\[4pt] 2x & x^{2}-2x & -2\\[4pt] -x & -x^{2}+x & 1 \end{pmatrix}.]

Passo 7

Agora a adjunta é a transposta da matriz de cofatores:
\operatorname{adj}(A)=C^{T}=\begin{pmatrix} -x^{2} & 2x & -x\\[4pt] x^{2} & x^{2}-2x & -x^{2}+x\\[4pt] 0 & -2 & 1 \end{pmatrix}.
E lembrando que \det(A)=-x^{2}, temos
A^{-1}=\frac{1}{-x^{2}}\operatorname{adj}(A).]

Passo 8

Multiplico cada entrada de \operatorname{adj}(A) por 1/(-x^{2}) e simplifico termo a termo (válido apenas para x\neq 0):
  • Entrada (1,1): \dfrac{-x^{2}}{-x^{2}}=1.
  • Entrada (1,2): \dfrac{2x}{-x^{2}}=-\dfrac{2}{x}.
  • Entrada (1,3): \dfrac{-x}{-x^{2}}=\dfrac{1}{x}.
  • Entrada (2,1): \dfrac{x^{2}}{-x^{2}}=-1.
  • Entrada (2,2): \dfrac{x^{2}-2x}{-x^{2}}=-\dfrac{x^{2}-2x}{x^{2}}=-1+\dfrac{2}{x}.
  • Entrada (2,3): \dfrac{-x^{2}+x}{-x^{2}}=\dfrac{x^{2}-x}{x^{2}}=1-\dfrac{1}{x}.
  • Entrada (3,1): \dfrac{0}{-x^{2}}=0.
  • Entrada (3,2): \dfrac{-2}{-x^{2}}=\dfrac{2}{x^{2}}.
  • Entrada (3,3): \dfrac{1}{-x^{2}}=-\dfrac{1}{x^{2}}.
Portanto, para x\neq 0,
A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{2}{x} & \dfrac{1}{x}\\[8pt] -1 & -1+\dfrac{2}{x} & 1-\dfrac{1}{x}\\[8pt] 0 & \dfrac{2}{x^{2}} & -\dfrac{1}{x^{2}} \end{pmatrix}.]

Resposta

A é invertível se, e somente se, x\neq 0. Se x=0, A não é invertível.
Para x\neq 0:
A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -\dfrac{2}{x} & \dfrac{1}{x}\\[8pt] -1 & -1+\dfrac{2}{x} & 1-\dfrac{1}{x}\\[8pt] 0 & \dfrac{2}{x^{2}} & -\dfrac{1}{x^{2}} \end{pmatrix}.]

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