e pede para determinar se A é invertível. Caso seja invertível, pede para calcular A^{-1}.
Informações relevantes do enunciado:
\text{A matriz }A\text{ depende do parâmetro }x\in\mathbb{R}.â
As perguntas são:
Para quais valores de x a matriz A é invertível?
Quando for invertível, encontrar explicitamente A^{-1}.]
Passo 2
O que significa “invertível” aqui e como decidir isso na prática: uma matriz quadrada é invertível se, e somente se, o determinante dela é diferente de zero. Portanto vamos calcular o determinante de A. Para uma matriz 3\times3,
\det\begin{pmatrix} a & b & c\\[4pt] d & e & f\\[4pt] g & h & i \end{pmatrix}=a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg).
Aplicando essa fórmula à nossa matriz, identificamos
Conclusão sobre invertibilidade a partir do determinante: \det(A)=-x^{2} é diferente de zero exatamente quando x\neq 0. Logo:
Se x\neq 0 então \det(A)\neq0 e A é invertível.
Se x=0 então \det(A)=0 e A não é invertível.
Um comentário rápido para ver diretamente o caso x=0: se x=0 a terceira coluna de A fica \begin{pmatrix}0\\\ 0\\\ 0\end{pmatrix}, ou seja, uma coluna nula — daí a matriz tem coluna linearmente dependente e não é invertível.
Passo 5
Método escolhido para achar A^{-1} quando x\neq0: vou usar a fórmula clássica
A^{-1}=\frac{1}{\det(A)}\operatorname{adj}(A),
onde \operatorname{adj}(A) é a matriz adjunta (transposta da matriz dos cofatores). Vou calcular a matriz de cofatores elemento a elemento (cada cofator é (-1)^{i+j} vezes o determinante do menor correspondente).
Passo 6
Calculo dos menores e cofatores. Para clareza, escrevo cada menor M_{ij} e o cofator C_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}.
M_{11}=\det\begin{pmatrix}1 & x^{2}\\[4pt]2 & x^{2}\end{pmatrix}=1\cdot x^{2}-x^{2}\cdot 2=-x^{2}. Então C_{11}=(-1)^{2}M_{11}=-x^{2}.
M_{12}=\det\begin{pmatrix}1 & x^{2}\\[4pt]2 & x^{2}\end{pmatrix}=-x^{2} (mesmo menor que acima). Então C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot(-x^{2})=x^{2}.
M_{13}=\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix}=1\cdot 2-1\cdot 2=0. Então C_{13}=0.
M_{21}=\det\begin{pmatrix}0 & x\\[4pt]2 & x^{2}\end{pmatrix}=0\cdot x^{2}-x\cdot 2=-2x. Então C_{21}=(-1)^{2+1}M_{21}=-1\cdot(-2x)=2x.
M_{22}=\det\begin{pmatrix}1 & x\\[4pt]2 & x^{2}\end{pmatrix}=1\cdot x^{2}-x\cdot 2=x^{2}-2x. Então C_{22}=x^{2}-2x (sinal positivo porque 2+2 é par).
M_{23}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]2 & 2\end{pmatrix}=1\cdot 2-0\cdot 2=2. Então C_{23}=(-1)^{2+3}M_{23}=-2.
M_{31}=\det\begin{pmatrix}0 & x\\[4pt]1 & x^{2}\end{pmatrix}=0\cdot x^{2}-x\cdot 1=-x. Então C_{31}=(-1)^{3+1}M_{31}=+1\cdot(-x)=-x.
M_{32}=\det\begin{pmatrix}1 & x\\[4pt]1 & x^{2}\end{pmatrix}=1\cdot x^{2}-x\cdot 1=x^{2}-x. Então C_{32}=(-1)^{3+2}M_{32}=- (x^{2}-x)=-x^{2}+x.
M_{33}=\det\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot 1-0\cdot 1=1. Então C_{33}=1.