2^a Questão ( 4 , 0 pontos): Considere a curva C dada pelas seguintes equações paramétricas:
x=2[t-sin (t)], y=2[1-cos (t)], 0 <= t <= 2 pi
a) Encontre uma equação da tangente à curva no ponto t=pi / 4
b) Encontre os pontos na curva onde a tangente à curva é horizontal ou vertical.
c) Para quais valores de t a curva é côncava para baixo?
d) Trace a curva e as tangentes, indicando o sentido da mesma.
e) Calcule o comprimento da curva para 0 <= t <= 2 pi.
f) Calcule a área sob a curva para 0 <= t <= 2 pi.

Passo 1

O enunciado apresenta a curva paramétrica
x=2l(t-sin tr), y=2l(1-cos tr), 0<= t<=2pi
e pede: equação da reta tangente em t=pi/4, pontos de tangente horizontal/vertical, concavidade, esboço com orientação, comprimento de arco e área sob a curva. Para resolver isso vamos usar derivadas paramétricas dydx=dy/dtdx/dt, segunda derivada d^2ydx^2, fórmulas de comprimento de arco paramétrico e de área A=integral y,dx.

Passo 2

Calculamos as derivadas em função de t:
dxdt=2l(1-cos tr), dydt=2sin t
Logo a inclinação da tangente é
dydx =2sin t2(1-cos t) =sin t1-cos t =cot!l( t2r)

Passo 3

Para t0=pi/4 temos
x0=2l(tfracpi4-raiz22r) =pi2-raiz2, y0=2l(1-raiz22r) =2-raiz2,
e a inclinação
m=cot!l(pi8r)
Portanto a reta tangente é
y-(2-raiz2) =cot!l(pi8r)l[x-l(tfracpi2-raiz2r)r]

Passo 4

Tangente horizontal ocorre quando dydt=2sin t=0 e dxdtne0, isto é t=pi. O ponto é
l(x(pi),y(pi)r) =l(2pi,4r)
Tangente vertical precisaria dxdt=0 e dydtne0, mas dxdt=0 em t=0,2pi e aí dydt=0 também (cúspides). Logo não há reta vertical regular, só cúspides em t=0,2pi.

Passo 5

Para a concavidade usamos
d^2ydx^2 =ddtl(cot!tfrac t2r)g/dxdt =-12,csc^2!tfrac t2/l[2(1-cos t)r] =-18sin^4!tfrac t2<0
para todo tin(0,2pi). A curva é côncava para baixo em todo o intervalo aberto.

Passo 6

A curva é um arco de cicloide de raio 2, que parte de (0,0) em cúspide quando t=0, sobe até o ponto máximo (2pi,4) em t=pi (tangente horizontal) e volta a cúspide em (4pi,0) para t=2pi. O sentido é crescente em x com t. Deve-se ainda desenhar a tangente do Passo 3 em t=pi/4 e a horizontal em t=pi.

Passo 7

O comprimento de arco é
L=integral0^2pi raizl(tfracdxdtr)^2+l(tfracdydtr)^2,dt =integral0^2pi4sin!l( t2r),dt =16

Passo 8

A área sob a curva é
A=integral0^2piy,dx =integral0^2pi2(1-cos t)cdot2(1-cos t),dt =integral0^2pi4(1-cos t)^2,dt =12pi

Resposta

(a) .\n(b) Tangente horizontal em no ponto ; c’uspides (derivadas nulas) em sem reta vertical.\n(c) A curva c’oncava para baixo para todo .\n(d) 'E um arco de cicloide de raio de a , c’uspide em , pico em , orientado para a direita conforme cresce. Tangente em e horizontal em devem ser desenhadas.\n(e) .\n(f) .

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