Questão (
pontos): Considere a curva
dada pelas seguintes equações paramétricas:
a) Encontre uma equação da tangente à curva no ponto
b) Encontre os pontos na curva onde a tangente à curva é horizontal ou vertical.
c) Para quais valores de
a curva é côncava para baixo?
d) Trace a curva e as tangentes, indicando o sentido da mesma.
e) Calcule o comprimento da curva para
.
f) Calcule a área sob a curva para
.
b) Encontre os pontos na curva onde a tangente à curva é horizontal ou vertical.
c) Para quais valores de
d) Trace a curva e as tangentes, indicando o sentido da mesma.
e) Calcule o comprimento da curva para
f) Calcule a área sob a curva para
Passo 1
O enunciado apresenta a curva paramétrica
e pede: equação da reta tangente em
, pontos de tangente horizontal/vertical, concavidade, esboço com orientação, comprimento de arco e área sob a curva. Para resolver isso vamos usar derivadas paramétricas
, segunda derivada
, fórmulas de comprimento de arco paramétrico e de área
.
Passo 2
Calculamos as derivadas em função de
:
Logo a inclinação da tangente é
Passo 3
Para
temos
e a inclinação
Portanto a reta tangente é
Passo 4
Tangente horizontal ocorre quando
e
, isto é
. O ponto é
Tangente vertical precisaria
e
, mas
em
e aí
também (cúspides). Logo não há reta vertical regular, só cúspides em
.
Passo 5
Para a concavidade usamos
para todo
. A curva é côncava para baixo em todo o intervalo aberto.
Passo 6
A curva é um arco de cicloide de raio
, que parte de
em cúspide quando
, sobe até o ponto máximo
em
(tangente horizontal) e volta a cúspide em
para
. O sentido é crescente em
com
. Deve-se ainda desenhar a tangente do Passo
em
e a horizontal em
.
Passo 7
O comprimento de arco é
Passo 8
A área sob a curva é
Resposta
(a)
.\n(b) Tangente horizontal em
no ponto
; c’uspides (derivadas nulas) em
sem reta vertical.\n(c) A curva c’oncava para baixo para todo
.\n(d) 'E um arco de cicloide de raio
de
a
, c’uspide em
, pico em
, orientado para a direita conforme
cresce. Tangente em
e horizontal em
devem ser desenhadas.\n(e)
.\n(f)
.