4^ a Questão ( 2,0 pontos): Seja r(t) uma função vetorial, faça o que se pede:
Sabendo que r(t)=<e^2 t, sin (pi t), t cos (t)>, calcule integral r(t) d t

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida do campo vetorial
r(t)=lang<= e^2t,,sin(pi t),,tcos trang<=.
Como a integração de um vetor é feita componente a componente, vamos calcular
integral e^2tdt, integral sin(pi t)dt e integral tcos t,dt separadamente.

Passo 2

Para a primeira componente, usamos a fórmula da integral de exponencial:
integral e^2tdt = 12e^2t + C1

Passo 3

Para a segunda componente, fazemos a substituição simples u=pi t, du=pi,dt:
integral sin(pi t),dt = integral sin(u),dupi = -1picos(u) + C2 = -1picos(pi t) + C2

Passo 4

Para a terceira componente, aplicamos integração por partes em
integral tcos t,dt. Seja
u = t, dv = cos t,dt Longrightarrow du=dt, v=sin t
Então
integral tcos t,dt = u,v - integral v,du = tsin t - integral sin t,dt = tsin t + cos t + C3

Resposta

Reunindo as três componentes e incluindo o vetor constante de integração
lang<= C1,C2,C3rang<=, obtemos
integral r(t),dt = lang<= tfrac12e^2t,,-tfrac1picos(pi t),,tsin t + cos trang<= +lang<= C1,C2,C3rang<=

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