Calcular as integrais definidas
integral-2^4|x+1x+6| d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
integral-2^4|x+1x+6|,dx
O conteúdo aqui é integração de valor absoluto, então vamos precisar analisar onde o quociente muda de sinal para remover o módulo e depois calcular as integrais em cada trecho.

Passo 2

Como em [-2,4] temos x+6>0 sempre, o sinal de x+1x+6 é o mesmo de x+1. A raiz do numerador é x=-1, então dividimos o intervalo em dois:
– Para xin[-2,-1): x+1<0, logo
|x+1x+6|=-x+1x+6
– Para xin[-1,4]: x+1>=0, logo
|x+1x+6|=x+1x+6
Assim
integral-2^4|x+1x+6|dx =integral-2^-1l(-x+1x+6r)dx +integral-1^4x+1x+6,dx

Passo 3

Vamos simplificar o integrando comum x+1x+6 por divisão:
x+1 = (x+6) - 5 Longrightarrow x+1x+6 = 1 - 5x+6
Daí
-x+1x+6 = -1 + 5x+6
Portanto as antiderivadas são
integrall(-x+1x+6r)dx =integrall(-1 + 5x+6r)dx =-x + 5ln|x+6| + C,
integralx+1x+6dx =integrall(1 - 5x+6r)dx = x - 5ln|x+6| + C

Passo 4

Calcular
I1 = integral-2^-1l(-x+1x+6r)dx ;=;l[-x + 5ln(x+6)r]x=-2^x=-1
Avaliaremos sem o +C:
l(-(-1)+5ln5r);-;l(-(-2)+5ln4r) = l(1+5ln5r)-l(2+5ln4r) = -1 + 5l(ln5 - ln4r) = -1 + 5ln!tfrac54

Passo 5

Calcular
I2 = integral-1^4x+1x+6dx ;=;l[x - 5ln(x+6)r]x=-1^x=4
Fazendo a conta:
l(4 - 5ln10r);-;l(-1 - 5ln5r) = 5 - 5l(ln10 - ln5r) = 5 - 5ln2

Passo 6

Somando I1 e I2:
I = l(-1 + 5lntfrac54r) + l(5 - 5ln2r) = 4 + 5l(lntfrac54 - ln2r) = 4 + 5ln!tfrac58

Resposta

integral-2^4|x+1x+6|dx = 4 + 5ln!58

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