Questão 1. (2,0 pontos) Considere dois átomos com massas iguais ligados entre si por meio de uma mola e ligados individualmente por molas a paredes. Sabendo que as molas são idênticas e estão alinhadas, determine a frequência de oscilação para a qual um átomo oscila em relação ao outro com uma diferença de fase de 180^circ.

Passo 1

O enunciado descreve duas massas iguais (m) ligadas por três molas idênticas (constante k), alinhadas: parede–mola–massa1–mola–massa2–mola–parede. Precisamos achar a frequência de oscilação no modo em que as duas massas se movem em oposição de fase (180°). Isso cai na matéria de modos normais em sistemas de osciladores acoplados, e vamos usar equações de movimento e autovalores.

Passo 2

Denotando por x₁ e x₂ os deslocamentos das massas m em relação às posições de equilíbrio, escrevemos as forças elásticas: a massa 1 sofre forças –k x₁ (mola à parede) e –k (x₁–x₂) (mola entre as massas). Assim, a equação de movimento é
mddot x1 = -k x1 - k(x1 - x2) = -2k x1 + k x2
Analogamente para a massa 2:
mddot x2 = -2k x2 + k x1

Passo 3

Procuramos soluções harmônicas do tipo x₁=A e^{iωt}, x₂=B e^{iωt}. Substituindo em cada equação temos o sistema linear
(2k - mω^2)A - k B = 0,
- k A + (2k - mω^2)B = 0

Passo 4

Para existirem soluções não-triviais, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero. Isso leva a
(2k - mω^2)^2 - k^2 = 0
que se resolve como
2k - mω^2 = pm k

Passo 5

As duas soluções são mω² = k (modo em fase, A=B) e mω² = 3k (modo anti-fase, A=−B). O que nos interessa é o modo anti-fase, de diferença de fase 180°, que dá
ω^2 = 3km

Resposta

A frequência angular do modo anti-fase é omega = raiz3k/m, e a frequência de oscilação correspondente é f = tfrac12piraiztfrac3km.

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