Questão 1. (2,0 pontos) Considere dois átomos com massas iguais ligados entre si por meio de uma mola e ligados individualmente por molas a paredes. Sabendo que as molas são idênticas e estão alinhadas, determine a frequência de oscilação para a qual um átomo oscila em relação ao outro com uma diferença de fase de
.
Passo 1
O enunciado descreve duas massas iguais (m) ligadas por três molas idênticas (constante k), alinhadas: parede–mola–massa1–mola–massa2–mola–parede. Precisamos achar a frequência de oscilação no modo em que as duas massas se movem em oposição de fase (180°). Isso cai na matéria de modos normais em sistemas de osciladores acoplados, e vamos usar equações de movimento e autovalores.
Passo 2
Denotando por x₁ e x₂ os deslocamentos das massas m em relação às posições de equilíbrio, escrevemos as forças elásticas: a massa 1 sofre forças –k x₁ (mola à parede) e –k (x₁–x₂) (mola entre as massas). Assim, a equação de movimento é
Analogamente para a massa 2:
Passo 3
Procuramos soluções harmônicas do tipo x₁=A e^{iωt}, x₂=B e^{iωt}. Substituindo em cada equação temos o sistema linear
Passo 4
Para existirem soluções não-triviais, o determinante da matriz dos coeficientes deve ser zero. Isso leva a
que se resolve como
Passo 5
As duas soluções são mω² = k (modo em fase, A=B) e mω² = 3k (modo anti-fase, A=−B). O que nos interessa é o modo anti-fase, de diferença de fase 180°, que dá
Resposta
A frequência angular do modo anti-fase é
, e a frequência de oscilação correspondente é
.