4anestão: (Valor: 2.0)
a) (0.6) Edifícios de alturas diferentes sofrem danos diferentes em um terremoto. Explique por que.
b) (1.4) Um corpo de 1 , 5 k g, oscilando preso a uma mola de constante 600 N / m, e termo de amortecimento 0,95 / s. O sistema oscilante está excitado por uma força senoidal de valor máximo 5,0 N. Determine: (i) (0.4) a frequência na ressonância; (ii) ( 0 5 ) a amplitude de oscilação na ressonância e (iii) (0.5) a amplitude se a frequência excitadora for 19 rad / s.
Dados: ddotx+omega0^2 x=0 ; x(t)=A cos (omega0 t+varphi)
l ddotx+gamma x+omega0^2 x=0 x(t)=A e^-gamma t / 2 cos (omega t+varphi), onde omega=raizomega0^2-gamma^24 x(t)=e^-gamma t2(A+B t) x(t)=e^-gamma t2(A e^beta t+B e^-beta t), onde beta=raizgamma^24-omega0^2
l ddotx+omega0^2 x=-gamma dotx+F0m sen(omegaF t) x(t)=B e^-gamma2 t cos (omega0 t+phi0)+A(omegaF) sen(omegap t+phi(omegaF)), onde omega^2=omega0^2-gamma^24, A(omegaF)=F0m raiz(omega0^2-omegap^2)^2+gamma^2 omegap^2 e phi(omegaF)=-tg^-1[lambda omegapomega0^2-omegap^2]
barE(t)=E0 e^-gamma t, onde E0=12 M omega0^2 A0^2

Passo 1

O enunciado trata de osciladores forçados e amortecidos.
a) Precisa explicar por que edifícios de alturas diferentes sofrem danos diferentes num terremoto, recorrendo ao conceito de frequência natural e ressonância.
b) Tem um oscilador massa–mola com massa m=1,5 kg, constante elástica k=600 N/m, coeficiente de amortecimento gamma=0,95 s^-1 e força externa senoidal de amplitude F0=5,0 N. Pede-se:
(i) a frequência de ressonância;
(ii) a amplitude de oscilação na ressonância;
(iii) a amplitude quando a frequência de excitação é omegaF=19 rad/s.
Vamos usar
omega0=raizkm, A(omegaF)=F0mraiz(omega0^2-omegaF^2)^2+gamma^2,omegaF^2, omegares=raizomega0^2-gamma^22,

Passo 2

a) Cada edifício pode ser visto como um sistema massa–mola com sua própria frequência natural omega0, que depende de rigidez e massa (edifícios mais altos têm menor rigidez relativa e maior massa, logo omega0 menor). O movimento do solo durante o terremoto contém várias frequências; se uma delas coincidir com omega0 do edifício ocorre ressonância, amplificando as vibrações e as tensões internas. Como cada altura gera um omega0 diferente, a resposta dinâmica e, portanto, os danos, variam de edifício para edifício.

Passo 3

b-(i) Calcular a frequência natural
omega0=raizkm=raiz6001,5=raiz400=20 rad/s
A frequência de pico (ressonância) para sistema amortecido é
omegares=raizomega0^2-gamma^22 =raiz400-(0,95)^22 approxraiz399,55approx19,99 rad/s

Passo 4

b-(ii) A amplitude em ressonância é
Ares =F0mraizl(omega0^2-omegares^2r)^2+gamma^2,omegares^2
Como omegares^2=omega0^2-gamma^2/2, simplifica-se para
Ares =F0m,gammaraizomega0^2-gamma^2/4 approx5,01,5cdot0,95cdotraiz400-0,9025/4 approx0,175 m

Passo 5

b-(iii) Para omegaF=19 rad/s usa-se direto
A(19) =5,01,5raiz(400-19^2)^2+(0,95)^2cdot19^2 =5,01,5raiz39^2+0,9025cdot361 approx0,078 m

Resposta

a) Edifícios de alturas diferentes têm frequências naturais distintas; quando a frequência dominante do solo coincide com a frequência natural do edifício, ocorre ressonância e ampliação das vibrações, gerando mais danos.
b-(i) omegaresapprox19,99 rad/s
b-(ii) Aresapprox0,175 m
b-(iii) A(19)approx0,078 m

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