Nos seguintes problemas, calcule o limite de f(x, y) quando (x, y) tende a (0,0), ao longo de cada um dos caminhos indicados:
f(x, y)=\frac{3 x^{4} y^{4}}{\left(x^{4}+y^{2}\right)^{3}}

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) ao longo de cada um dos caminhos indicados. A função dada é
f(x,y)=\frac{3x^{4}y^{4}}{\left(x^{4}+y^{2}\right)^{3}}.
Como o enunciado menciona “cada um dos caminhos indicados” mas não lista explicitamente quais, vou calcular os limites ao longo de caminhos que costumam ser pedidos nesses exercícios e que são ilustrativos para decidir se o limite total existe:
  1. o eixo x=0 (aproximação pelo eixo y);
  2. o eixo y=0 (aproximação pelo eixo x);
  3. a família de curvas y=kx^{2} com k constante (isto inclui y=x^{2} como caso k=1).
    O objetivo é obter os limites ao longo desses caminhos e comparar — se aparecerem valores diferentes, o limite em duas variáveis em (0,0) não existe.

Passo 2

Limite ao longo do caminho x=0.
Substituir x=0 em f. Para x=0 e y\neq0 temos
f(0,y)=\frac{3\cdot 0^{4}\cdot y^{4}}{\left(0^{4}+y^{2}\right)^{3}}=\frac{0}{(y^{2})^{3}}=0.
Explicação didática: o numerador contém um fator x^{4}. Se x=0 exatamente, esse fator zera todo o numerador, enquanto o denominador é (y^{2})^{3}=y^{6}, que para y\neq0 é finito e não nulo. Logo a função ao longo do eixo x=0 vale identicamente 0 (próximo da origem), então
\lim_{(0,y)\to(0,0)} f(0,y)=0.

Passo 3

Limite ao longo do caminho y=0.
Substituir y=0 em f. Para y=0 e x\neq0 temos
f(x,0)=\frac{3x^{4}\cdot 0^{4}}{\left(x^{4}+0^{2}\right)^{3}}=\frac{0}{(x^{4})^{3}}=0.
Novamente, o numerador contém um fator y^{4} que zera a expressão quando y=0, enquanto o denominador é finito e não nulo para x\neq0. Portanto
\lim_{(x,0)\to(0,0)} f(x,0)=0.

Passo 4

Limite ao longo da família de curvas y=kx^{2} com k constante.
Aqui a ideia é substituir y=kx^{2} (com k fixo, real) e simplificar. Isso mostra se o limite depende ou não do parâmetro k.
Substituindo:
y=kx^{2}\quad\Rightarrow\quad y^{2}=k^{2}x^{4},\qquad y^{4}=k^{4}x^{8}.
Agora coloque essas expressões em f:
f\bigl(x,kx^{2}\bigr) = \frac{3x^{4}\cdot (k^{4}x^{8})}{\bigl(x^{4}+k^{2}x^{4}\bigr)^{3}} = \frac{3k^{4}x^{12}}{\bigl(x^{4}(1+k^{2})\bigr)^{3}}.
Explicando a manipulação: no denominador foi fatorado x^{4} porque x^{4}+k^{2}x^{4}=x^{4}(1+k^{2}). Eleva-se ao cubo e fica x^{12}(1+k^{2})^{3}. Assim
f\bigl(x,kx^{2}\bigr) = \frac{3k^{4}x^{12}}{x^{12}(1+k^{2})^{3}} = \frac{3k^{4}}{(1+k^{2})^{3}}, \qquad\text{para }x\neq0.
Observe que depois de cancelar x^{12} a expressão não depende mais de x: é uma constante que depende apenas de k. Portanto o limite quando x\to0 (e, consequentemente, (x,kx^{2})\to(0,0)) é esse número:
\lim_{x\to 0} f\bigl(x,kx^{2}\bigr) = \frac{3k^{4}}{(1+k^{2})^{3}}.

Passo 5

Comparação e conclusão sobre existência do limite total.
  • Para os caminhos x=0 e y=0 obtivemos limite 0.
  • Para a família y=kx^{2} obtemos o valor \dfrac{3k^{4}}{(1+k^{2})^{3}}, que depende de k. Em particular, para k=1 (ou seja, y=x^{2}) o limite é
\frac{3\cdot 1^{4}}{(1+1^{2})^{3}}=\frac{3}{2^{3}}=\frac{3}{8}\neq 0.
Como existe pelo menos um caminho ( y=x^{2}) que dá limite \dfrac{3}{8} e outros caminhos (por exemplo y=0 ou x=0) que dão limite 0, os limites ao longo de caminhos distintos são diferentes. Lembrete importante (regra prática): se o limite em \mathbb{R}^{2} quando (x,y)\to(0,0) existisse, então todos os caminhos que se aproximam de (0,0) dariam o mesmo valor. Aqui não acontece isso, logo o limite total não existe.

Resposta

Limite ao longo de x=0: 0
Limite ao longo de y=0: 0
Limite ao longo de y=kx^{2} (com k constante): \dfrac{3k^{4}}{(1+k^{2})^{3}}
Em particular, para y=x^{2} (isto é, k=1): \dfrac{3}{8}
Conclusão: o limite de f(x,y) quando (x,y)\to(0,0) não existe.

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