Nos seguintes problemas, calcule o limite de
quando
tende a
, ao longo de cada um dos caminhos indicados:
Passo 1
O enunciado pede para calcular o limite de
quando
ao longo de cada um dos caminhos indicados. A função dada é
Como o enunciado menciona “cada um dos caminhos indicados” mas não lista explicitamente quais, vou calcular os limites ao longo de caminhos que costumam ser pedidos nesses exercícios e que são ilustrativos para decidir se o limite total existe:
- o eixo
(aproximação pelo eixo ); - o eixo
(aproximação pelo eixo ); - a família de curvas
com constante (isto inclui como caso ).
O objetivo é obter os limites ao longo desses caminhos e comparar — se aparecerem valores diferentes, o limite em duas variáveis emnão existe.
Passo 2
Limite ao longo do caminho
.
Substituir
em
. Para
e
temos
Explicação didática: o numerador contém um fator
. Se
exatamente, esse fator zera todo o numerador, enquanto o denominador é
, que para
é finito e não nulo. Logo a função ao longo do eixo
vale identicamente
(próximo da origem), então
Passo 3
Limite ao longo do caminho
.
Substituir
em
. Para
e
temos
Novamente, o numerador contém um fator
que zera a expressão quando
, enquanto o denominador é finito e não nulo para
. Portanto
Passo 4
Limite ao longo da família de curvas
com
constante.
Aqui a ideia é substituir
(com
fixo, real) e simplificar. Isso mostra se o limite depende ou não do parâmetro
.
Substituindo:
Agora coloque essas expressões em
:
Explicando a manipulação: no denominador foi fatorado
porque
. Eleva-se ao cubo e fica
. Assim
Observe que depois de cancelar
a expressão não depende mais de
: é uma constante que depende apenas de
. Portanto o limite quando
(e, consequentemente,
) é esse número:
Passo 5
Comparação e conclusão sobre existência do limite total.
- Para os caminhos
e obtivemos limite . - Para a família
obtemos o valor , que depende de . Em particular, para (ou seja, ) o limite é
Como existe pelo menos um caminho (
) que dá limite
e outros caminhos (por exemplo
ou
) que dão limite
, os limites ao longo de caminhos distintos são diferentes. Lembrete importante (regra prática): se o limite em
quando
existisse, então todos os caminhos que se aproximam de
dariam o mesmo valor. Aqui não acontece isso, logo o limite total não existe.
Resposta
Limite ao longo de
:
Limite ao longo de :
Limite ao longo de (com
constante):
Em particular, para (isto é,
):
Conclusão: o limite de quando
não existe.
Limite ao longo de
Limite ao longo de
Em particular, para
Conclusão: o limite de