Questão 4. (2,0 pontos) Considere a EDO abaixo. Encontre um fator integrante \mu(x) e obtenha a solução geral.
\frac{d y}{d x}+3 y=4 e^{-3 x}

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial ordinária
\frac{d y}{d x}+3 y=4 e^{-3 x}
E pede duas coisas:
  • Encontrar um fator integrante \mu(x).
  • Obter a solução geral y(x).
Informações relevantes dadas: a equação já está escrita na forma padrão de primeira ordem linear, com termo de coeficiente de y igual a 3 e termo não homogêneo 4 e^{-3x}.

Passo 2

Vamos identificar os elementos da forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem. A forma padrão é
\frac{dy}{dx}+P(x)\,y=Q(x).
Comparando com a equação dada, temos
P(x)=3,\qquad Q(x)=4 e^{-3x}.
Não é preciso rearranjar nada, já está pronta para aplicar o método de fator integrante.

Passo 3

Explicar o que é o fator integrante e por que ele funciona (mini-aula). A ideia é achar uma função \mu(x) tal que, ao multiplicar a equação por \mu(x), o lado esquerdo vire a derivada de um produto simples \mu(x)\,y. Ou seja, queremos
\mu(x)\frac{dy}{dx}+\mu(x)P(x)y=\frac{d}{dx}\big(\mu(x)y\big).
Pelo cálculo de derivada do produto,
\frac{d}{dx}\big(\mu y\big)=\mu\frac{dy}{dx}+\mu'\,y.
Comparando os dois lados, precisamos que
\mu'\,y=\mu P(x) y\quad\text{para todo }y,
ou seja
\mu'(x)=\mu(x)P(x).
Isso é uma equação diferencial separável para \mu. Resolvendo,
\frac{\mu'}{\mu}=P(x)\quad\Rightarrow\quad \ln\mu(x)=\int P(x)\,dx + C_0.
Escolhemos a constante multiplicativa convenientemente (ela só introduz um fator constante que não altera a solução geral), por isso o fator integrante padrão é
\mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}.
Esse é o motivo prático: multiplicando pela \mu obtém-se uma equação cuja esquerda é \dfrac{d}{dx}(\mu y), facilitando a integração.

Passo 4

Calcular o fator integrante para o nosso caso usando P(x)=3:
\mu(x)=e^{\int 3\,dx}=e^{3x}.
Portanto o fator integrante é \mu(x)=e^{3x}.

Passo 5

Multiplicar toda a equação original por \mu(x)=e^{3x}. Temos
e^{3x}\frac{dy}{dx}+3e^{3x}y=4e^{3x}e^{-3x}.
No lado direito vemos explicitamente que usei o fato de que Q(x)=4e^{-3x} e multiplique por e^{3x}. Simplificando o lado direito:
e^{3x}\frac{dy}{dx}+3e^{3x}y=4.

Passo 6

Reconhecer que o lado esquerdo é a derivada do produto \dfrac{d}{dx}\big(e^{3x}y\big). Portanto a equação vira
\frac{d}{dx}\big(e^{3x}y\big)=4.
Agora integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\big(e^{3x}y\big)\,dx=\int 4\,dx.
Isso dá
e^{3x}y=4x+C,
onde C é a constante de integração (gera a família de soluções).

Passo 7

Isolar y para obter a solução geral. Dividindo por e^{3x}:
y(x)=e^{-3x}\big(4x+C\big).
Podemos escrever de forma que fique claro o termo particular e a solução homogênea:
y(x)=4x e^{-3x}+C e^{-3x}.
Aqui C é uma constante arbitrária real. Observe que C e^{-3x} é a solução geral da equação homogênea associada \dfrac{dy}{dx}+3y=0 e 4x e^{-3x} é uma solução particular da equação completa.

Passo 8

Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): derivando y=4x e^{-3x}+C e^{-3x} e substituindo em \dfrac{dy}{dx}+3y obtém-se 4e^{-3x}, logo satisfaz a equação original. Dica prática para prova: memorize o passo-chave (identificar P(x), calcular \mu=e^{\int P}, multiplicar, reconhecer (\mu y)', integrar) — com prática vira automática.

Resposta

y(x)=e^{-3x}\big(4x+C\big)=4x e^{-3x}+C e^{-3x}

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