Questão 4. (2,0 pontos) Considere a EDO abaixo. Encontre um fator integrante
e obtenha a solução geral.
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial ordinária
E pede duas coisas:
- Encontrar um fator integrante
. - Obter a solução geral
.
Informações relevantes dadas: a equação já está escrita na forma padrão de primeira ordem linear, com termo de coeficiente de
igual a
e termo não homogêneo
.
Passo 2
Vamos identificar os elementos da forma padrão de uma EDO linear de primeira ordem. A forma padrão é
Comparando com a equação dada, temos
Não é preciso rearranjar nada, já está pronta para aplicar o método de fator integrante.
Passo 3
Explicar o que é o fator integrante e por que ele funciona (mini-aula). A ideia é achar uma função
tal que, ao multiplicar a equação por
, o lado esquerdo vire a derivada de um produto simples
. Ou seja, queremos
Pelo cálculo de derivada do produto,
Comparando os dois lados, precisamos que
ou seja
Isso é uma equação diferencial separável para
. Resolvendo,
Escolhemos a constante multiplicativa convenientemente (ela só introduz um fator constante que não altera a solução geral), por isso o fator integrante padrão é
Esse é o motivo prático: multiplicando pela
obtém-se uma equação cuja esquerda é
, facilitando a integração.
Passo 4
Calcular o fator integrante para o nosso caso usando
:
Portanto o fator integrante é
.
Passo 5
Multiplicar toda a equação original por
. Temos
No lado direito vemos explicitamente que usei o fato de que
e multiplique por
. Simplificando o lado direito:
Passo 6
Reconhecer que o lado esquerdo é a derivada do produto
. Portanto a equação vira
Agora integramos ambos os lados em relação a
:
Isso dá
onde
é a constante de integração (gera a família de soluções).
Passo 7
Isolar
para obter a solução geral. Dividindo por
:
Podemos escrever de forma que fique claro o termo particular e a solução homogênea:
Aqui
é uma constante arbitrária real. Observe que
é a solução geral da equação homogênea associada
e
é uma solução particular da equação completa.
Passo 8
Verificação rápida (opcional, para ganhar confiança): derivando
e substituindo em
obtém-se
, logo satisfaz a equação original. Dica prática para prova: memorize o passo-chave (identificar
, calcular
, multiplicar, reconhecer
, integrar) — com prática vira automática.