Qual dos seguintes conjuntos, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, não é um espaço vetorial?
O conjunto de todos os vetores em
.
O conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 .
O conjunto de todas as matrizes
.
O conjunto de todos os vetores em
da forma
.
O conjunto de todos os vetores em
O conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 .
O conjunto de todas as matrizes
O conjunto de todos os vetores em
Passo 1
O enunciado lista quatro conjuntos com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar e pede para identificar qual deles não é um espaço vetorial. O conteúdo envolve verificar os axiomas de espaço vetorial, em especial a fechamento sob soma e multiplicação por escalar.
Passo 2
O conjunto de todos os vetores em
é o próprio espaço
. Sabemos que
fecha em todas as operações vetoriais e satisfaz todos os axiomas, logo é um espaço vetorial.
Passo 3
O conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2, chamado usualmente de
, forma um espaço vetorial de dimensão 3, pois a soma de dois polinômios de grau
e o produto por escalar continuam sendo polinômios de grau
.
Passo 4
O conjunto de todas as matrizes
é o espaço
. É bem conhecido que ele fecha em soma e multiplicação por escalar, satisfazendo todos os axiomas, portanto é um espaço vetorial.
Passo 5
O conjunto
é a curva
no plano. Para ser subespaço de
precisamos, entre outros, que seja fechado em soma e em multiplicação por escalar.
Passo 6
Verificação de fechamento sob soma: seja
e
no conjunto. Então
Para que este resultado pertença ao conjunto, precisaríamos ter
o que só ocorre se
para todo
. Como isso não vale em geral, a soma sai da curva
.
Passo 7
Como falha o fechamento sob soma (e similarmente pode falhar para multiplicação por escalar), concluímos que esse conjunto não é espaço vetorial.
Resposta
O conjunto de todos os vetores em
da forma
.