Qual dos seguintes conjuntos, com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar, não é um espaço vetorial?
O conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^{3}.
O conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2 .
O conjunto de todas as matrizes 2 \times 2.
O conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^{2} da forma \left(x, x^{2}\right).

Passo 1

O enunciado lista quatro conjuntos com as operações usuais de soma e multiplicação por escalar e pede para identificar qual deles não é um espaço vetorial. O conteúdo envolve verificar os axiomas de espaço vetorial, em especial a fechamento sob soma e multiplicação por escalar.

Passo 2

O conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^{3} é o próprio espaço \mathbb{R}^{3}. Sabemos que \mathbb{R}^{3} fecha em todas as operações vetoriais e satisfaz todos os axiomas, logo é um espaço vetorial.

Passo 3

O conjunto de todos os polinômios de grau menor ou igual a 2, chamado usualmente de P_{2}, forma um espaço vetorial de dimensão 3, pois a soma de dois polinômios de grau \le2 e o produto por escalar continuam sendo polinômios de grau \le2.

Passo 4

O conjunto de todas as matrizes 2\times2 é o espaço \mathbb{R}^{2\times2}. É bem conhecido que ele fecha em soma e multiplicação por escalar, satisfazendo todos os axiomas, portanto é um espaço vetorial.

Passo 5

O conjunto \{(x,x^{2})\mid x\in\mathbb{R}\}\subset\mathbb{R}^{2} é a curva y=x^{2} no plano. Para ser subespaço de \mathbb{R}^{2} precisamos, entre outros, que seja fechado em soma e em multiplicação por escalar.

Passo 6

Verificação de fechamento sob soma: seja (x,x^{2}) e (y,y^{2}) no conjunto. Então
(x,x^{2}) + (y,y^{2}) = (\,x+y,\;x^{2}+y^{2}\,).
Para que este resultado pertença ao conjunto, precisaríamos ter
x^{2}+y^{2} = (x+y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2},
o que só ocorre se 2xy=0 para todo x,y. Como isso não vale em geral, a soma sai da curva y=x^{2}.

Passo 7

Como falha o fechamento sob soma (e similarmente pode falhar para multiplicação por escalar), concluímos que esse conjunto não é espaço vetorial.

Resposta

O conjunto de todos os vetores em \mathbb{R}^{2} da forma (x,x^{2}).

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