A derivada da função
, calculada no ponto
resulta:
a) 1
b)
c)
d)
e)
a) 1
b)
c)
d)
e)
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede a derivada dessa função no ponto
.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
- A função é composta por funções trigonométricas e radiciação de índice
. - As funções presentes são
, , e . - O ponto onde devemos avaliar a derivada é
.
O que é pedido:
- Calcular
.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão dentro da raiz cúbica. Uso as identidades
e
e manipulo algebricamente:
Calculo o numerador:
Como
, fica
Calculo o denominador:
Como
, fica
Agora a razão:
Passo 3
Observando o resultado do passo anterior,
Então a função original fica
Para números reais vale a propriedade
. Como
é real sempre que
, podemos simplificar
em todos os pontos do domínio onde a expressão inicial está definida (ou seja, onde
e
). Note que em
temos
e
, logo a simplificação é válida nesse ponto.
Passo 4
Agora vamos derivar
. Uma maneira didática é escrever
e usar a regra do quociente. Se
e
, então
e
. A regra do quociente diz que
Aplicando:
Como
, obtemos a fórmula clássica
(Resumo: a derivada de
é
.)
Passo 5
Agora avalio a derivada no ponto
.
Primeiro calculo
:
Logo
Portanto
Passo 6
Interpretação final: o valor da derivada no ponto pedido é
, que corresponde à alternativa (e).
Resposta
e)