A derivada da função \mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt[3]{\frac{\operatorname{cossec} \mathrm{x}-\operatorname{sen} \mathrm{x}}{\operatorname{sec} \mathrm{x}-\cos \mathrm{x}}}, calculada no ponto \mathrm{x}=-\frac{\pi}{3} resulta:
a) 1
b) \frac{2 \sqrt{3}}{3}
c) \frac{4}{3}
d) -\frac{2 \sqrt{3}}{3}
e) -\frac{4}{3}

Passo 1

O enunciado dá a função
\mathrm{f}(\mathrm{x})=\sqrt[3]{\frac{\operatorname{cossec} \mathrm{x}-\operatorname{sen} \mathrm{x}}{\operatorname{sec} \mathrm{x}-\cos \mathrm{x}}}
e pede a derivada dessa função no ponto \mathrm{x}=-\dfrac{\pi}{3}.
Informações relevantes que o enunciado fornece:
  • A função é composta por funções trigonométricas e radiciação de índice 3.
  • As funções presentes são \operatorname{cossec}x=\csc x=\dfrac{1}{\sin x}, \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x}, \sin x e \cos x.
  • O ponto onde devemos avaliar a derivada é \mathrm{x}=-\dfrac{\pi}{3}.
O que é pedido:
  • Calcular \mathrm{f}'\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right).

Passo 2

Primeiro vamos simplificar a expressão dentro da raiz cúbica. Uso as identidades \csc x=\dfrac{1}{\sin x} e \operatorname{sec} x=\dfrac{1}{\cos x} e manipulo algebricamente:
Calculo o numerador:
\csc x - \sin x = \frac{1}{\sin x} - \sin x = \frac{1-\sin^2 x}{\sin x}.
Como 1-\sin^2 x=\cos^2 x, fica
\csc x - \sin x = \frac{\cos^2 x}{\sin x}.
Calculo o denominador:
\operatorname{sec} x - \cos x = \frac{1}{\cos x} - \cos x = \frac{1-\cos^2 x}{\cos x}.
Como 1-\cos^2 x=\sin^2 x, fica
\operatorname{sec} x - \cos x = \frac{\sin^2 x}{\cos x}.
Agora a razão:
\frac{\csc x - \sin x}{\operatorname{sec} x - \cos x} = \frac{\dfrac{\cos^2 x}{\sin x}}{\dfrac{\sin^2 x}{\cos x}} = \frac{\cos^2 x}{\sin x}\cdot\frac{\cos x}{\sin^2 x} = \frac{\cos^3 x}{\sin^3 x}.

Passo 3

Observando o resultado do passo anterior,
\frac{\csc x - \sin x}{\operatorname{sec} x - \cos x}=\frac{\cos^3 x}{\sin^3 x}=\left(\frac{\cos x}{\sin x}\right)^3=\cot^3 x.
Então a função original fica
\mathrm{f}(x)=\sqrt[3]{\cot^3 x}.
Para números reais vale a propriedade \sqrt[3]{a^3}=a. Como \cot x é real sempre que \sin x\neq0, podemos simplificar
\mathrm{f}(x)=\cot x,
em todos os pontos do domínio onde a expressão inicial está definida (ou seja, onde \sin x\neq0 e \cos x\neq0). Note que em x=-\dfrac{\pi}{3} temos \sin\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\neq0 e \cos\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\dfrac{1}{2}\neq0, logo a simplificação é válida nesse ponto.

Passo 4

Agora vamos derivar \mathrm{f}(x)=\cot x. Uma maneira didática é escrever \cot x=\dfrac{\cos x}{\sin x} e usar a regra do quociente. Se u(x)=\cos x e v(x)=\sin x, então u'(x)=-\sin x e v'(x)=\cos x. A regra do quociente diz que
\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}.
Aplicando:
\frac{d}{dx}\cot x = \frac{(-\sin x)\sin x - \cos x\cos x}{\sin^2 x} = \frac{-(\sin^2 x+\cos^2 x)}{\sin^2 x}.
Como \sin^2 x+\cos^2 x=1, obtemos a fórmula clássica
\mathrm{f}'(x)=\frac{d}{dx}\cot x = -\frac{1}{\sin^2 x} = -\csc^2 x.
(Resumo: a derivada de \cot x é -\csc^2 x.)

Passo 5

Agora avalio a derivada no ponto \mathrm{x}=-\dfrac{\pi}{3}.
Primeiro calculo \sin\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right):
\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\sin\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}.
Logo
\sin^2\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=\left(-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{3}{4}.
Portanto
\mathrm{f}'\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)=-\frac{1}{\sin^2\!\left(-\dfrac{\pi}{3}\right)}=-\frac{1}{\tfrac{3}{4}}=-\frac{4}{3}.

Passo 6

Interpretação final: o valor da derivada no ponto pedido é -\dfrac{4}{3}, que corresponde à alternativa (e).

Resposta

e) -\dfrac{4}{3}

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