Parametrize o conjunto dado.
Conjunto obtido pela rotação em torno do eixo z da curva y=0 e z=x-x^2, 0 <= x <= 1.

Passo 1

O enunciado pede a parametrização do conjunto obtido ao girar em torno do eixo z a curva do plano y=0 definida por
z = x - x^2, 0 <= x <= 1
O que vamos precisar: reconhecer que isso é uma superfície de revolução e usar coordenadas cilíndricas, introduzindo um ângulo de rotação.

Passo 2

Primeiro, parametrizamos a curva original no plano y=0. Basta usar
u in [0,1], gamma(u) = l(u,,0,,u - u^2r)

Passo 3

Para obter a rotação em torno do eixo z acrescentamos um segundo parâmetro thetain[0,2pi]. Em coordenadas cilíndricas, o raio radial fica igual a u e o ângulo é theta.

Passo 4

Aplicando a rotação temos
x = ucostheta, y = usintheta, z = u - u^2,
com (u,theta)in[0,1]times[0,2pi].

Resposta

A parametrização é
r(u,theta) =l(ucostheta,;usintheta,;u - u^2r), 0<= u<=1,;0<=theta<=2pi

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