Questão 1. (2,5 pontos) Considere a função
(a) A função
é continua em
? Justifique.
(b) Determine as derivadas parciais
e
no ponto
.
© Determine as derivadas parciais
e
no ponto
.
(b) Determine as derivadas parciais
© Determine as derivadas parciais
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de matemática juntos! Aqui, estamos lidando com análise de funções de duas variáveis, especificamente sobre continuidade e derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar a continuidade de uma função em um ponto e como calcular as derivadas parciais usando definições básicas.
Passo 2
Parte (a): Verificar se a função $ f $ é contínua em
.
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função naquele ponto. Ou seja, precisamos verificar:
Sabemos que $ f(0,0) = 0 $. Agora, vamos calcular o limite.
Passo 3
Vamos calcular o limite $ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x y{4}}{x{2} + y^{8}} $.
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $. Assim, $ r $ tende a 0.
Substituindo:
Fatorando $ r^{2} $ do denominador:
Quando $ r \to 0 $, o termo $ r^{6} \sin^{8} \theta $ tende a 0, então:
Portanto, o limite é 0.
Resposta
a) A função $ f $ é contínua em
, pois
.