Questão 1. (2,5 pontos) Considere a função
f(x, y)= x y^4x^2+y^8, & (x, y) neq(0,0) 0, & (x, y)=(0,0)
(a) A função f é continua em (0,0) ? Justifique.
(b) Determine as derivadas parciais fx e fy no ponto (0,0).
© Determine as derivadas parciais fx e fy no ponto (0,1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão de matemática juntos! Aqui, estamos lidando com análise de funções de duas variáveis, especificamente sobre continuidade e derivadas parciais. Para resolver isso, vamos precisar entender como verificar a continuidade de uma função em um ponto e como calcular as derivadas parciais usando definições básicas.

Passo 2

Parte (a): Verificar se a função $ f $ é contínua em f .
Primeiro, vamos lembrar que uma função é contínua em um ponto se o limite dela quando se aproxima desse ponto for igual ao valor da função naquele ponto. Ou seja, precisamos verificar:
(0,0)
Sabemos que $ f(0,0) = 0 $. Agora, vamos calcular o limite.

Passo 3

Vamos calcular o limite $ \lim_{(x,y) \to (0,0)} \frac{x y{4}}{x{2} + y^{8}} $.
Para facilitar, vamos usar coordenadas polares, onde $ x = r \cos \theta $ e $ y = r \sin \theta $. Assim, $ r $ tende a 0.
Substituindo:
lim(x,y) to (0,0) x y^4x^2 + y^8
Fatorando $ r^{2} $ do denominador:
x = r cos theta
Quando $ r \to 0 $, o termo $ r^{6} \sin^{8} \theta $ tende a 0, então:
y = r sin theta
Portanto, o limite é 0.

Resposta

a) A função $ f $ é contínua em f , pois (0,0).

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