Resolva os PVIs dados e determine o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.

Passo 1

O enunciado pede pra resolver o PVI: y'-2xy=5 com condição inicial y(0)=2. O conteúdo é EDO linear de 1ª ordem, e vamos precisar usar o fator integrante.

Passo 2

Reescrevemos a equação na forma padrão y'+p(x)y=q(x), identificando p(x)=-2x e q(x)=5. O fator integrante é mu(x)=e^integral p(x),dx.
Calculando o fator integrante, temos
mu(x)=e^-x^2
Multiplicamos a EDO por e^-x^2 e reconhecemos o lado esquerdo como derivada de produto: (e^-x^2y)'=5e^-x^2

Passo 3

Agora integramos ambos os lados de 0 até x:
e^-x^2y=5integral0^x e^-t^2,dt + C
Escolhemos integral definida para já aplicar a condição inicial.
Aplicando y(0)=2 nos dá
e^0·2=5integral0^0 e^-t^2,dt + C implies C=2
Então
e^-x^2y=5integral0^x e^-t^2,dt +2

Passo 4

Isolando y, obtemos a solução geral do PVI:
y(x)=e^x^2l(5integral0^x e^-t^2,dt +2r)

Passo 5

Como não há singularidades e a integral de e^-t^2 é bem definida para todo tin R, a maior intervalo de existência da solução é (-infty,infty).

Resposta

A solução é y(x)=e^x^2l(5integral0^x e^-t^2,dt+2r) e o maior intervalo de definição é I=(-infty,infty).

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