Resolva os PVIs dados e determine o maior intervalo I sobre o qual a solução está definida.

Passo 1

Resumo do enunciado: temos o PVI y'+ytan x = xcos x com condição inicial y(0)=1. O conteúdo é equação diferencial linear de primeira ordem e vamos usar fator integrante para resolver.

Passo 2

Identificamos em y'+P(x)y=Q(x) que P(x)=tan x e Q(x)=xcos x.

Passo 3

Calculamos o fator integrante mu(x)=e^integral P(x),dx=e^integraltan x,dx.
mu(x)=e^-ln|cos x|=1cos x=sec x

Passo 4

Multiplicamos a equação original por mu(x)=sec x e notamos que o lado esquerdo é a derivada de ysec x:
(ysec x)'=y'sec x + ysec xtan x = x

Passo 5

Integramos ambos os lados:
ysec x=integral x,dx=tfracx^22+C
Isolando y e aplicando y(0)=1:
y=(tfracx^22+C)cos x, 1=y(0)=(0+C)cdot1implies C=1

Passo 6

Determinamos o maior intervalo de definição: como usamos tan x e sec x, precisamos de cos xneq0. No entorno de 0, isso dá o intervalo (-tfracpi2,tfracpi2).

Resposta

y(x)=(tfracx^22+1)cos x, I=(-tfracpi2,tfracpi2).

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