Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método de variáveis separáveis:
d yd x=e^x e^y

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial para resolver usando o método de variáveis separáveis:
dydx = e^x e^y
Nesse método, a ideia é separar as variáveis $ y $ e $ x $ em lados opostos da equação para facilitar a integração. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial e integral, especialmente sobre como manipular exponenciais e integrar funções.

Passo 2

Primeiro, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. A equação está escrita como:
y
Podemos reescrever isso como:
x
Aqui, a ideia é deixar todos os termos com $ y $ de um lado e os termos com $ x $ do outro.

Passo 3

Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação:
integral 1e^y dy = integral e^x dx
Simplificando a fração no lado esquerdo:
integral e^-y dy = integral e^x dx

Passo 4

Vamos resolver as integrais:
  • Integral de $ e^{-y} dy $:
e^-y dy
  • Integral de $ e^{x} dx $:
integral e^-y dy = -e^-y + C1
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração.

Passo 5

Igualando as integrais e agrupando as constantes:
- e^-y + C1 = e^x + C2
Podemos simplificar substituindo $ C = C_2 - C_1 $:
C = C2 - C1
Multiplicando ambos os lados por $ -1 $:
- e^-y = e^x + C
Onde $ C’ $ é outra constante de integração (ainda podemos chamar de $ C $ para simplificar).

Resposta

Finalmente, isolando $ y $:
y
Ou, de forma mais comum, podemos escrever:
y = -ln(-e^x + C)
Onde $ C $ é uma constante de integração que pode ser determinada com uma condição inicial, se fornecida.

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