Resolva as seguintes equações diferenciais pelo método de variáveis separáveis:
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a seguinte equação diferencial para resolver usando o método de variáveis separáveis:
Nesse método, a ideia é separar as variáveis $ y $ e $ x $ em lados opostos da equação para facilitar a integração. Vamos precisar usar conhecimentos de cálculo diferencial e integral, especialmente sobre como manipular exponenciais e integrar funções.
Passo 2
Primeiro, vamos separar as variáveis $ y $ e $ x $. A equação está escrita como:
Podemos reescrever isso como:
Aqui, a ideia é deixar todos os termos com $ y $ de um lado e os termos com $ x $ do outro.
Passo 3
Agora que as variáveis estão separadas, vamos integrar ambos os lados da equação:
Simplificando a fração no lado esquerdo:
Passo 4
Vamos resolver as integrais:
- Integral de $ e^{-y} dy $:
- Integral de $ e^{x} dx $:
Onde $ C_1 $ e $ C_2 $ são constantes de integração.
Passo 5
Igualando as integrais e agrupando as constantes:
Podemos simplificar substituindo $ C = C_2 - C_1 $:
Multiplicando ambos os lados por $ -1 $:
Onde $ C’ $ é outra constante de integração (ainda podemos chamar de $ C $ para simplificar).
Resposta
Finalmente, isolando $ y $:
Ou, de forma mais comum, podemos escrever:
Onde $ C $ é uma constante de integração que pode ser determinada com uma condição inicial, se fornecida.