QUESTÃO 4) (6 pontos)
Considere a função
dada por
tabelada como segue:
0
0,5
1,0
1
2,12
3,55
Determine o polinômio interpolador usando a fórmula de Newton; avalie
e um limitante superior para o erro.
Considere a função
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0 | 0,5 | 1,0 |
|
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1 | 2,12 | 3,55 |
Passo 1
O enunciado fornece os valores tabelados da função
nos pontos abaixo e pede três coisas:
- pontos dados:
-
com , -
com , -
com .
-
- perguntas:
- Determinar o polinômio interpolador usando a fórmula de Newton (grau máximo 2, pois há três pontos).
- Avaliar esse polinômio em
. - Dar um limitante superior para o erro de interpolação em
.
Passo 2
Conceito e fórmula de Newton (explicação didática curta):
- A forma de Newton do polinômio interpolador de grau 2 é
onde
são diferenças divididas definidas por
e a segunda diferença dividida por
Isso monta o polinômio de forma incremental e é prático para acrescentar pontos.
Agora calculamos as diferenças divididas com os números dados (cada número escrito em TeX).
Calculemos:
Passo 3
Montagem do polinômio de Newton e conversão para forma polinomial usual:
- Newton:
- Expandindo para forma canônica (útil para cálculo direto):
Primeiro expandir o termo quadrático:
Somando os termos lineares:
Logo
Passo 4
Avaliação de
em
(mostrando contas passo a passo):
- Usando a forma expandida:
Calcule cada termo:
Somando:
Passo 5
Fórmula do erro e escolha de um limitante:
- Para interpolação por polinômio de grau
com nós , o resto em um ponto tem a forma
para algum
entre o menor e o maior dos nós. Assim um limitante superior para
é
onde
é uma constante tal que
para todo
no intervalo que contém os nós e o ponto de interesse.
Passo 6
Aplicando o erro ao nosso caso (determinar
e o produto em
):
- Derivadas da função
:
No intervalo
(contendo todos os nós e
) temos
. Observa-se que
e que
é crescente porque
em
. Logo o máximo de
em
ocorre em
. Assim podemos escolher
- Agora o fator do produto em
:
Tomando valor absoluto:
- Portanto o limitante superior do erro é
Numericamente,
Passo 7
Comentário de verificação rápida (opcional, só para confiança):
- O valor verdadeiro
. O polinômio deu ; a diferença real é cerca de , que está bem dentro do limitante calculado . Isso mostra que o bound é consistente.