3 ㅡㅇ QUESTÃO ( 0,6 PONTO): Resolver o sistema de equações utilizando a técnica de Cholesky, admitindo 4 casas decimais nos resultados.
\left\{\begin{array}{l} 16 x_{1}^{(k)}+4 x_{2}^{(k)}+8 x_{3}^{(k)}+4 x_{4}^{(k)}=0,7 \\\\ 4 x_{1}^{(k)}+10 x_{2}^{(k)}+2 x_{3}^{(k)}+2 x_{4}^{(k)}=0,1 \\\\ 8 x_{1}^{(k)}+2 x_{2}^{(k)}+9 x_{3}^{(k)}+3 x_{4}^{(k)}=0,4 \\\\ 4 x_{1}^{(k)}+2 x_{2}^{(k)}+3 x_{3}^{(k)}+5 x_{4}^{(k)}=1,2 \end{array} \quad S_{x}^{(0)}=\left(x_{1}^{(0)}=0 x_{2}^{(0)}=0 x_{3}^{(0)}=0 x_{4}^{(0)}=0\right)^{t}\right.
A.1.) Mostrar a metodologia da técnica de Cholesky.
A.2.) Fazer 6 soluções S_{x}^{(1)}, \ldots, S_{x}^{(6)}.

Passo 1

Vou organizar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Sistema linear dado (peguei os coeficientes do enunciado):
\begin{cases} 16\,x_{1}^{(k)}+4\,x_{2}^{(k)}+8\,x_{3}^{(k)}+4\,x_{4}^{(k)}=0,7,\\[4pt] 4\,x_{1}^{(k)}+10\,x_{2}^{(k)}+2\,x_{3}^{(k)}+2\,x_{4}^{(k)}=0,1,\\[4pt] 8\,x_{1}^{(k)}+2\,x_{2}^{(k)}+9\,x_{3}^{(k)}+3\,x_{4}^{(k)}=0,4,\\[4pt] 4\,x_{1}^{(k)}+2\,x_{2}^{(k)}+3\,x_{3}^{(k)}+5\,x_{4}^{(k)}=1,2. \end{cases}
  • Matriz de coeficientes A e vetor b (extraí diretamente do sistema):
A=\begin{pmatrix} 16 & 4 & 8 & 4\\[4pt] 4 & 10 & 2 & 2\\[4pt] 8 & 2 & 9 & 3\\[4pt] 4 & 2 & 3 & 5 \end{pmatrix},\qquad b=\begin{pmatrix}0,7\\[3pt]0,1\\[3pt]0,4\\[3pt]1,2\end{pmatrix}.
  • O enunciado pede duas coisas:
    A.1) Mostrar a metodologia da técnica de Cholesky (ou seja, fatorar A=L\,L^{T} e resolver).
    A.2) Fazer 6 soluções S_{x}^{(1)},\ldots,S_{x}^{(6)}. O enunciado deu S_{x}^{(0)}=(0,0,0,0)^{t}, então vou produzir as 6 aproximações iterativas a partir dessa condição inicial usando o método de Gauss–Seidel (metodologia simples e padrão para sequências de aproximação, apropriada porque A é simétrica e definida positiva — logo a convergência do Gauss–Seidel é garantida).
A resolução direta (final exata numérica com 4 casas) será obtida com Cholesky; as S_{x}^{(k)} serão as 6 primeiras iterações de Gauss–Seidel começando em S_{x}^{(0)}.]

Passo 2

Breve aula sobre Cholesky (metodologia) — o que é e quando usar, com as fórmulas usadas passo a passo.
  • Cholesky é uma fatoração para matrizes simétricas e definidas positivas: se A satisfaz isso, existe uma matriz triangular inferior L tal que
A = L\,L^{T},
onde L tem elementos l_{ij} com l_{ij}=0 para j>i.
  • Como construir L componentes a componentes (fórmulas):
\begin{aligned} l_{11} &= \sqrt{a_{11}},\\[4pt] l_{i1} &= \dfrac{a_{i1}}{l_{11}}\quad (i=2,\dots,n),\\[6pt] l_{22} &= \sqrt{a_{22}-l_{21}^{2}},\\[4pt] l_{i2} &= \dfrac{a_{i2}-l_{i1}l_{21}}{l_{22}}\quad (i=3,\dots,n), \end{aligned}
e em geral, para cada k:
\begin{aligned} l_{kk} &= \sqrt{\,a_{kk}-\sum_{s=1}^{k-1} l_{ks}^{2}\,},\\[6pt] l_{ik} &= \dfrac{1}{l_{kk}}\Big(a_{ik}-\sum_{s=1}^{k-1} l_{is}l_{ks}\Big)\quad(i=k+1,\dots,n). \end{aligned}
  • Depois de obter L, resolve-se o sistema em duas etapas (substituições):
    1. Resolver L\,y=b por substituição direta (forward substitution).
    2. Resolver L^{T}x=y por substituição retroativa (backward substitution).
Vou aplicar estas fórmulas numericamente ao nosso A.]

Passo 3

Aplicando Cholesky a A: cálculo dos elementos de L (mostrando a conta).
  • Primeiro elemento:
l_{11}=\sqrt{a_{11}}=\sqrt{16}=4.
  • Primeira coluna abaixo de l_{11}:
l_{21}=\dfrac{a_{21}}{l_{11}}=\dfrac{4}{4}=1,\qquad l_{31}=\dfrac{8}{4}=2,\qquad l_{41}=\dfrac{4}{4}=1.
  • Segundo pivô:
l_{22}=\sqrt{a_{22}-l_{21}^{2}}=\sqrt{10-1^{2}}=\sqrt{9}=3.
  • Segunda coluna (restantes):
l_{32}=\dfrac{a_{32}-l_{31}l_{21}}{l_{22}}=\dfrac{2-2\cdot1}{3}=\dfrac{0}{3}=0,
l_{42}=\dfrac{a_{42}-l_{41}l_{21}}{l_{22}}=\dfrac{2-1\cdot1}{3}=\dfrac{1}{3}=0,3333\\ (\text{4 casas}).
  • Terceiro pivô:
l_{33}=\sqrt{a_{33}-l_{31}^{2}-l_{32}^{2}}=\sqrt{9-2^{2}-0^{2}}=\sqrt{5}=2,2361\\ (\text{4 casas}).
  • Terceira coluna (restante):
l_{43}=\dfrac{a_{43}-l_{41}l_{31}-l_{42}l_{32}}{l_{33}}=\dfrac{3-1\cdot2- (1/3)\cdot0}{l_{33}}=\dfrac{1}{l_{33}}=\dfrac{1}{2,2360679\ldots}=0,4472\\ (\text{4 casas}).
  • Quarto pivô:
l_{44}=\sqrt{a_{44}-l_{41}^{2}-l_{42}^{2}-l_{43}^{2}}.
Calculemos os termos:
l_{41}^{2}=1,\qquad l_{42}^{2}=(1/3)^{2}=0,1111\ldots,\qquad l_{43}^{2}=0,2
a_{44}-\bigl(l_{41}^{2}+l_{42}^{2}+l_{43}^{2}\bigr)=5-(1+0,111111\ldots+0,2)=3,6888888889.
Portanto
l_{44}=\sqrt{3,6888888889}=1,9206\\ (\text{aprox; 4 casas: }1,9206\\ \text{ou }1,9206).
  • Resumindo L (apresento com 4 casas nos elementos não inteiros):
L\approx \begin{pmatrix} 4,0000 & 0 & 0 & 0\\[4pt] 1,0000 & 3,0000 & 0 & 0\\[4pt] 2,0000 & 0,0000 & 2,2361 & 0\\[4pt] 1,0000 & 0,3333 & 0,4472 & 1,9206 \end{pmatrix}.
(Obs.: onde foi conveniente usei expressões exatas para simplificar cálculos posteriores, por exemplo l_{33}=\sqrt{5} e l_{43}=1/\sqrt{5}.)]

Passo 4

Resolver L\,y=b por substituição direta (forward substitution). Escrevo as equações e calculo y componente a componente.
As equações são:
\begin{aligned} l_{11}y_{1} &= b_{1},\\[4pt] l_{21}y_{1}+l_{22}y_{2} &= b_{2},\\[4pt] l_{31}y_{1}+l_{32}y_{2}+l_{33}y_{3} &= b_{3},\\[4pt] l_{41}y_{1}+l_{42}y_{2}+l_{43}y_{3}+l_{44}y_{4} &= b_{4}. \end{aligned}
Calculando:
y_{1}=\dfrac{b_{1}}{l_{11}}=\dfrac{0,7}{4}=0,1750.
y_{2}=\dfrac{b_{2}-l_{21}y_{1}}{l_{22}}=\dfrac{0,1-1\cdot0,1750}{3}=\dfrac{-0,0750}{3}=-0,0250.
y_{3}=\dfrac{b_{3}-l_{31}y_{1}-l_{32}y_{2}}{l_{33}} =\dfrac{0,4-2\cdot0,1750-0\cdot(-0,0250)}{2,2360679\ldots} =\dfrac{0,05}{2,2360679\ldots}=0,0223606798\approx0,0224.
(Observação útil: com l_{33}=\sqrt{5} temos y_{3}=0,05/\sqrt{5}.)
Para y_{4}:
y_{4}=\dfrac{b_{4}-l_{41}y_{1}-l_{42}y_{2}-l_{43}y_{3}}{l_{44}}.
Substituindo valores (onde usei valores já calculados; mantive precisão suficiente e depois arredondei a 4 casas):
l_{41}y_{1}=1\cdot0,1750=0,1750,
l_{42}y_{2}=\tfrac{1}{3}\cdot(-0,0250)=-0,0083333333,
l_{43}y_{3}=\dfrac{1}{l_{33}}\cdot\frac{0,05}{l_{33}}=\frac{0,05}{l_{33}^{2}}=\frac{0,05}{5}=0,0100\\ (\text{exatamente}).
Então o numerador é
1,2-(0,1750-0,0083333333+0,0100)=1,0233333333,
e assim
y_{4}=\dfrac{1,0233333333}{1,9206480\ldots}\approx0,5327\quad(\text{4 casas: }0,5327).
Resumo dos y (4 casas onde aplicável):
y\approx\begin{pmatrix}0,1750\\[3pt]-0,0250\\[3pt]0,0224\\[3pt]0,5327\end{pmatrix}.]

Passo 5

Resolver L^{T}x=y por substituição retroativa (backward substitution) e obter a solução final (Cholesky).
O sistema L^{T}x=y tem forma triangular superior:
\begin{aligned} l_{11}x_{1}+l_{21}x_{2}+l_{31}x_{3}+l_{41}x_{4} &= y_{1},\\[4pt] l_{22}x_{2}+l_{32}x_{3}+l_{42}x_{4} &= y_{2},\\[4pt] l_{33}x_{3}+l_{43}x_{4} &= y_{3},\\[4pt] l_{44}x_{4} &= y_{4}. \end{aligned}
Começando de baixo:
x_{4}=\dfrac{y_{4}}{l_{44}}.
Usando o valor exato obtido para y_{4} e l_{44}^{2}=3,6888888889, uma forma conveniente é notar
x_{4}=\dfrac{y_{4}}{l_{44}}=\dfrac{1,0233333333}{l_{44}^{2}}=\dfrac{1,0233333333}{3,6888888889}\approx0,2774.
Em seguida:
x_{3}=\dfrac{y_{3}-l_{43}x_{4}}{l_{33}}.
Com a observação útil (uso de relações exatas):
y_{3}=\dfrac{0,05}{l_{33}},\qquad l_{43}=\dfrac{1}{l_{33}},
então
x_{3}=\dfrac{0,05/l_{33}-x_{4}/l_{33}}{l_{33}}=\dfrac{0,05-x_{4}}{l_{33}^{2}}=\dfrac{0,05-x_{4}}{5}=0,01-\dfrac{x_{4}}{5}.
Substituindo x_{4}\approx0,2774096 obtemos
x_{3}\approx0,01-\dfrac{0,2774096}{5}\approx-0,0455\\ (\text{4 casas: }-0,0455).
Depois:
x_{2}=\dfrac{y_{2}-l_{32}x_{3}-l_{42}x_{4}}{l_{22}}.
Mas l_{32}=0, então
x_{2}=\dfrac{y_{2}-\tfrac{1}{3}x_{4}}{3}= \dfrac{-0,0250-\tfrac{1}{3}x_{4}}{3} = \dfrac{-0,0250}{3}-\dfrac{x_{4}}{9}.
Substituindo x_{4}
x_{2}\approx-0,0392\\ (\text{4 casas}).
Finalmente:
x_{1}=\dfrac{y_{1}-l_{21}x_{2}-l_{31}x_{3}-l_{41}x_{4}}{l_{11}} =\dfrac{0,1750-x_{2}-2x_{3}-x_{4}}{4}.
Substituindo os valores numéricos obtidos resulta
x_{1}\approx0,0069\\ (\text{4 casas}).
Portanto a solução direta obtida por Cholesky, arredondada a 4 casas decimais, é
x\approx\begin{pmatrix} 0,0069\\[3pt] -0,0392\\[3pt] -0,0455\\[3pt] 0,2774 \end{pmatrix}.]

Passo 6

Agora vou explicar rapidamente o método iterativo usado para produzir as 6 aproximações pedidas S_{x}^{(1)},\ldots,S_{x}^{(6)} e por que escolhi ele.
  • Escolhi o método de Gauss–Seidel porque o enunciado deu S_{x}^{(0)}=(0,0,0,0)^{t} e Gauss–Seidel produz uma sequência de aproximações sucessivas a partir de uma condição inicial, usando atualização imediata (mais rápido que Jacobi na prática para muitas matrizes). Além disso A é simétrica definida positiva, então o Gauss–Seidel converge.
  • Fórmulas de atualização (expressas isoladamente, para cada componente):
\begin{aligned} x_{1}^{(k+1)} &= \dfrac{1}{16}\bigl(0,7-4x_{2}^{(k+1)}-8x_{3}^{(k+1)}-4x_{4}^{(k+1)}\bigr), \\[6pt] x_{2}^{(k+1)} &= \dfrac{1}{10}\bigl(0,1-4x_{1}^{(k+1)}-2x_{3}^{(k+1)}-2x_{4}^{(k+1)}\bigr), \\[6pt] x_{3}^{(k+1)} &= \dfrac{1}{9}\bigl(0,4-8x_{1}^{(k+1)}-2x_{2}^{(k+1)}-3x_{4}^{(k+1)}\bigr), \\[6pt] x_{4}^{(k+1)} &= \dfrac{1}{5}\bigl(1,2-4x_{1}^{(k+1)}-2x_{2}^{(k+1)}-3x_{3}^{(k+1)}\bigr). \end{aligned}
(Nota: na prática calcula-se x_{1}^{(k+1)} usando os valores atuais de x_{2},x_{3},x_{4} — no primeiro ciclo são os de S^{(0)}; em seguida usa-se o x_1^{(k+1)} recém-calculado para atualizar x_2^{(k+1)}, e assim por diante.)]

Passo 7

Cálculo explícito das 6 primeiras iterações de Gauss–Seidel, começando com S_{x}^{(0)}=(0,0,0,0)^{t}.
Vou apresentar cada iteração já arredondada a 4 casas por componente (mostro rapidamente os cálculos essenciais):
  • Iteração 1 ( S_{x}^{(1)}):
\begin{aligned} x_{1}^{(1)}&=\dfrac{0,7}{16}=0,04375\approx0,0438,\\[4pt] x_{2}^{(1)}&=\dfrac{0,1-4\cdot0,04375}{10}=\dfrac{-0,075}{10}=-0,0075,\\[4pt] x_{3}^{(1)}&=\dfrac{0,4-8\cdot0,04375-2\cdot(-0,0075)}{9}=0,007222\dots\approx0,0072,\\[4pt] x_{4}^{(1)}&=\dfrac{1,2-4\cdot0,04375-2\cdot(-0,0075)-3\cdot0,007222\dots}{5}=0,203666\dots\approx0,2037. \end{aligned}
Assim
S_{x}^{(1)}\approx\begin{pmatrix}0,0438\\[3pt]-0,0075\\[3pt]0,0072\\[3pt]0,2037\end{pmatrix}.]

Passo 8

  • Iteração 2 ( S_{x}^{(2)}):
    Usando os valores atualizados da iteração 1:
S_{x}^{(2)}\approx\begin{pmatrix}-0,0089\\[3pt]-0,0286\\[3pt]-0,0092\\[3pt]0,2641\end{pmatrix}.
(Detalhes: cálculo direto pelas fórmulas; os números foram arredondados a 4 casas.)]

Passo 9

  • Iteração 3 ( S_{x}^{(3)}):
S_{x}^{(3)}\approx\begin{pmatrix}-0,0105\\[3pt]-0,0368\\[3pt]-0,0261\\[3pt]0,2788\end{pmatrix}.]

Passo 10

  • Iteração 4 ( S_{x}^{(4)}):
S_{x}^{(4)}\approx\begin{pmatrix}-0,0037\\[3pt]-0,0391\\[3pt]-0,0365\\[3pt]0,2805\end{pmatrix}.]

Passo 11

  • Iteração 5 ( S_{x}^{(5)}):
S_{x}^{(5)}\approx\begin{pmatrix}0,0016\\[3pt]-0,0395\\[3pt]-0,0417\\[3pt]0,2795\end{pmatrix}.]

Passo 12

  • Iteração 6 ( S_{x}^{(6)}):
S_{x}^{(6)}\approx\begin{pmatrix}0,0046\\[3pt]-0,0394\\[3pt]-0,0441\\[3pt]0,2785\end{pmatrix}.
Observação: a sequência converge para a solução direta encontrada por Cholesky; já vemos aproximação razoável após 6 iterações (a solução Cholesky foi próxima de (0,0069,-0,0392,-0,0455,0,2774)^{t}).]

Resposta

Solução por Cholesky (4 casas):
\begin{pmatrix} 0,0069\\[3pt] -0,0392\\[3pt] -0,0455\\[3pt] 0,2774 \end{pmatrix} \\ S_{x}^{(1)}=\begin{pmatrix}0,0438\\[3pt]-0,0075\\[3pt]0,0072\\[3pt]0,2037\end{pmatrix} \\ S_{x}^{(2)}=\begin{pmatrix}-0,0089\\[3pt]-0,0286\\[3pt]-0,0092\\[3pt]0,2641\end{pmatrix} \\ S_{x}^{(3)}=\begin{pmatrix}-0,0105\\[3pt]-0,0368\\[3pt]-0,0261\\[3pt]0,2788\end{pmatrix} \\ S_{x}^{(4)}=\begin{pmatrix}-0,0037\\[3pt]-0,0391\\[3pt]-0,0365\\[3pt]0,2805\end{pmatrix} \\ S_{x}^{(5)}=\begin{pmatrix}0,0016\\[3pt]-0,0395\\[3pt]-0,0417\\[3pt]0,2795\end{pmatrix} \\ S_{x}^{(6)}=\begin{pmatrix}0,0046\\[3pt]-0,0394\\[3pt]-0,0441\\[3pt]0,2785\end{pmatrix}

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