O enunciado pede duas coisas:
A.1) Mostrar a metodologia da técnica de Cholesky (ou seja, fatorar A=L\,L^{T} e resolver).
A.2) Fazer 6 soluções S_{x}^{(1)},\ldots,S_{x}^{(6)}. O enunciado deu S_{x}^{(0)}=(0,0,0,0)^{t}, então vou produzir as 6 aproximações iterativas a partir dessa condição inicial usando o método de Gauss–Seidel (metodologia simples e padrão para sequências de aproximação, apropriada porque A é simétrica e definida positiva — logo a convergência do Gauss–Seidel é garantida).
A resolução direta (final exata numérica com 4 casas) será obtida com Cholesky; as S_{x}^{(k)} serão as 6 primeiras iterações de Gauss–Seidel começando em S_{x}^{(0)}.]
Passo 2
Breve aula sobre Cholesky (metodologia) — o que é e quando usar, com as fórmulas usadas passo a passo.
Cholesky é uma fatoração para matrizes simétricas e definidas positivas: se A satisfaz isso, existe uma matriz triangular inferior L tal que
A = L\,L^{T},
onde L tem elementos l_{ij} com l_{ij}=0 para j>i.
Como construir L componentes a componentes (fórmulas):
Agora vou explicar rapidamente o método iterativo usado para produzir as 6 aproximações pedidas S_{x}^{(1)},\ldots,S_{x}^{(6)} e por que escolhi ele.
Escolhi o método de Gauss–Seidel porque o enunciado deu S_{x}^{(0)}=(0,0,0,0)^{t} e Gauss–Seidel produz uma sequência de aproximações sucessivas a partir de uma condição inicial, usando atualização imediata (mais rápido que Jacobi na prática para muitas matrizes). Além disso A é simétrica definida positiva, então o Gauss–Seidel converge.
Fórmulas de atualização (expressas isoladamente, para cada componente):
(Nota: na prática calcula-se x_{1}^{(k+1)} usando os valores atuais de x_{2},x_{3},x_{4} — no primeiro ciclo são os de S^{(0)}; em seguida usa-se o x_1^{(k+1)} recém-calculado para atualizar x_2^{(k+1)}, e assim por diante.)]
Passo 7
Cálculo explícito das 6 primeiras iterações de Gauss–Seidel, começando com S_{x}^{(0)}=(0,0,0,0)^{t}.
Vou apresentar cada iteração já arredondada a 4 casas por componente (mostro rapidamente os cálculos essenciais):
Observação: a sequência converge para a solução direta encontrada por Cholesky; já vemos aproximação razoável após 6 iterações (a solução Cholesky foi próxima de (0,0069,-0,0392,-0,0455,0,2774)^{t}).]