Encontrar as derivadas parciais de 1^{*} ordem das funçies a seguir.
f(x, y, z)=e^{* x}+2 x y^{4}-x \sqrt{z}

Passo 1

O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
f(x,y,z)=e^{x}+2xy^{4}-x\sqrt{z}.
Informações relevantes que nos dão e que vamos usar:
  • A função depende de três variáveis: x, y e z.
  • O termo \sqrt{z} pode ser escrito como z^{1/2}; para que a raiz esteja bem definida realmente e as derivadas em z não deem problema, consideramos z>0 (no ponto z=0 a derivada em z tende a infinito).
  • Precisamos calcular as três derivadas parciais de primeira ordem: \dfrac{\partial f}{\partial x}, \dfrac{\partial f}{\partial y} e \dfrac{\partial f}{\partial z}.

Passo 2

Definição breve (didática) do que é derivada parcial: a derivada parcial de f em relação a x, denotada \dfrac{\partial f}{\partial x}, é a taxa de variação de f quando apenas x varia e y,z ficam fixos. Formalmente,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h,y,z)-f(x,y,z)}{h}.
Na prática, para funções somas de termos, derivamos termo a termo tratando as outras variáveis como constantes. Aplicando isso ao primeiro termo:
  • Para \;e^{x}\;: a derivada em x é e^{x} porque a função exponencial tem a propriedade de que sua derivada é ela mesma.

Passo 3

Continuando \dfrac{\partial f}{\partial x}: derivamos os demais termos em relação a x, lembrando que y e z são constantes.
  • Para \;2xy^{4}\;: aqui y^{4} é constante (em relação a x), então derivando em x obtemos 2y^{4} (derivada de 2x é 2).
  • Para \;-x\sqrt{z} = -x z^{1/2}\;: z^{1/2} é constante, portanto a derivada em x é -z^{1/2}.
Somando os resultados termo a termo,
\frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=e^{x}+2y^{4}-\sqrt{z}.

Passo 4

Agora a derivada parcial em relação a y. Pela definição, tratando x e z como constantes:
  • O termo e^{x} não depende de y, logo contribui com 0.
  • O termo 2xy^{4}: aqui 2x é constante e aplicamos a regra da potência para y^{4}. Regra da potência (relembrando): a derivada de y^{n} em relação a y é n y^{n-1}. Assim,
\frac{d}{dy}(2x y^{4}) = 2x \cdot 4y^{3} = 8xy^{3}.
  • O termo -x\sqrt{z} não depende de y, então contribui com 0.
Portanto,
\frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=8xy^{3}.

Passo 5

Finalmente, a derivada parcial em relação a z. Tratamos x e y como constantes:
  • e^{x} não depende de z \Rightarrow 0.
  • 2xy^{4} não depende de z \Rightarrow 0.
  • Para -x\sqrt{z} = -x z^{1/2}: usamos a regra da potência combinada com o fator constante -x. A derivada de z^{1/2} em relação a z é \tfrac{1}{2}z^{-1/2}. Multiplicando pelo constante -x,
\frac{\partial}{\partial z}\bigl(-x z^{1/2}\bigr) = -x\cdot\frac{1}{2}z^{-1/2} = -\frac{x}{2}z^{-1/2}.
Reescrevendo com raiz,
\frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z) = -\frac{x}{2\sqrt{z}},\qquad (z>0).

Passo 6

Pequena verificação numérica (exemplo para fixar): em (x,y,z)=(1,1,4),
  • \dfrac{\partial f}{\partial x}=e^{1}+2\cdot1^{4}-\sqrt{4}=e+2-2=e.
  • \dfrac{\partial f}{\partial y}=8\cdot1\cdot1^{3}=8.
  • \dfrac{\partial f}{\partial z}=-\dfrac{1}{2\sqrt{4}}=-\dfrac{1}{4}.
    Isso ajuda a ver que as fórmulas funcionam numericamente.

Resposta

\displaystyle \frac{\partial f}{\partial x}(x,y,z)=e^{x}+2y^{4}-\sqrt{z}\n \displaystyle \frac{\partial f}{\partial y}(x,y,z)=8xy^{3}\n \displaystyle \frac{\partial f}{\partial z}(x,y,z)=-\dfrac{x}{2\sqrt{z}}

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