Encontrar as derivadas parciais de
ordem das funçies a seguir.
Passo 1
O enunciado pede para encontrar as derivadas parciais de primeira ordem da função
.
Informações relevantes que nos dão e que vamos usar:
Informações relevantes que nos dão e que vamos usar:
- A função depende de três variáveis:
, e . - O termo
pode ser escrito como ; para que a raiz esteja bem definida realmente e as derivadas em não deem problema, consideramos (no ponto a derivada em tende a infinito). - Precisamos calcular as três derivadas parciais de primeira ordem:
, e .
Passo 2
Definição breve (didática) do que é derivada parcial: a derivada parcial de
em relação a
, denotada
, é a taxa de variação de
quando apenas
varia e
ficam fixos. Formalmente,
Na prática, para funções somas de termos, derivamos termo a termo tratando as outras variáveis como constantes. Aplicando isso ao primeiro termo:
- Para
: a derivada em é porque a função exponencial tem a propriedade de que sua derivada é ela mesma.
Passo 3
Continuando
: derivamos os demais termos em relação a
, lembrando que
e
são constantes.
- Para
: aqui é constante (em relação a ), então derivando em obtemos (derivada de é ). - Para
: é constante, portanto a derivada em é .
Somando os resultados termo a termo,
Passo 4
Agora a derivada parcial em relação a
. Pela definição, tratando
e
como constantes:
- O termo
não depende de , logo contribui com . - O termo
: aqui é constante e aplicamos a regra da potência para . Regra da potência (relembrando): a derivada de em relação a é . Assim,
- O termo
não depende de , então contribui com .
Portanto,
Passo 5
Finalmente, a derivada parcial em relação a
. Tratamos
e
como constantes:
-
não depende de . -
não depende de . - Para
: usamos a regra da potência combinada com o fator constante . A derivada de em relação a é . Multiplicando pelo constante ,
Reescrevendo com raiz,
Passo 6
Pequena verificação numérica (exemplo para fixar): em
,
-
. -
. -
.
Isso ajuda a ver que as fórmulas funcionam numericamente.