Resolva:
(d) \{\begin{array}{l}y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=0 \\\ y(0)=1 \\\ y^{\prime}(0)=0\end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece um problema inicial-value com as seguintes informações:
  • Equação diferencial: y^{\prime\prime}+4y^{\prime}+5y=0.
  • Condições iniciais: y(0)=1 e y^{\prime}(0)=0.
O que é pedido: encontrar a função y(t) que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.

Passo 2

Qual método usar? Aqui temos uma equação linear de ordem 2 com coeficientes constantes e homogênea. Um método padrão e direto para esse caso é assumir uma solução do tipo exponencial e resolver a equação característica. Vou explicar isso passo a passo.
Rápida aula: método da equação característica
  • Para equações da forma y^{\prime\prime}+a y^{\prime}+b y=0 tenta-se uma solução y=e^{rt}.
  • Substituindo na equação obtém-se a equação algébrica (a equação característica) \,r^{2}+a r+b=0.
  • As raízes r dessa quadrática determinam a forma da solução geral:
    • Se as raízes são reais e distintas r_1,r_2 então y=C_1 e^{r_1 t}+C_2 e^{r_2 t}.
    • Se as raízes são reais e iguais r então y=(C_1+C_2 t)e^{r t}.
    • Se as raízes são complexas conjugadas r=\alpha\pm i\beta então a solução real geral é y=e^{\alpha t}\big(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\big).
      Cada constante C_1,C_2 será determinada pelas condições iniciais.

Passo 3

Formar e resolver a equação característica para a equação dada:
r^{2}+4r+5=0.
Calcular o discriminante: \Delta=4^{2}-4\cdot1\cdot5=16-20=-4, que é negativo. Portanto as raízes são complexas. Calcule as raízes:
r=\frac{-4\pm\sqrt{-4}}{2}=\frac{-4\pm 2i}{2}=-2\pm i.
Logo \alpha=-2 e \beta=1.

Passo 4

Aplicando a fórmula para raízes complexas conjugadas, a solução geral real é
y(t)=e^{\alpha t}\big(C_1\cos(\beta t)+C_2\sin(\beta t)\big).
Substituindo \alpha=-2 e \beta=1 obtemos
y(t)=e^{-2t}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big),
onde C_1 e C_2 são constantes a determinar pelas condições iniciais.

Passo 5

Aplicar a condição inicial y(0)=1. Avaliando y(0):
y(0)=e^{0}\big(C_1\cos 0 + C_2\sin 0\big)=1\cdot(C_1\cdot 1 + C_2\cdot 0)=C_1.
Logo
C_1=1.

Passo 6

Agora precisamos C_2. Para isso calcule y^{\prime}(t) usando regra do produto e derivadas de \cos e \sin.
Começando de y(t)=e^{-2t}(C_1\cos t + C_2\sin t), a derivada é
y^{\prime}(t)=\frac{d}{dt}\big(e^{-2t}\big)\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big) + e^{-2t}\frac{d}{dt}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big).
Calcule cada parte:
\frac{d}{dt}\big(e^{-2t}\big)=-2e^{-2t}, \qquad \frac{d}{dt}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big)=-C_1\sin t + C_2\cos t.
Substituindo:
y^{\prime}(t)= -2e^{-2t}\big(C_1\cos t + C_2\sin t\big) + e^{-2t}\big(-C_1\sin t + C_2\cos t\big).
Fatorando e^{-2t}:
y^{\prime}(t)=e^{-2t}\Big[\big(-2C_1 + C_2\big)\cos t + \big(-2C_2 - C_1\big)\sin t\Big].

Passo 7

Avalie y^{\prime}(0) para usar a condição inicial y^{\prime}(0)=0. Substituindo t=0 em y^{\prime}(t):
y^{\prime}(0)=e^{0}\Big[\big(-2C_1 + C_2\big)\cos 0 + \big(-2C_2 - C_1\big)\sin 0\Big] = \big(-2C_1 + C_2\big)\cdot 1 + \big(-2C_2 - C_1\big)\cdot 0.
Portanto
y^{\prime}(0)=-2C_1 + C_2.
A condição diz que isso é zero, então
-2C_1 + C_2 = 0 \quad\Rightarrow\quad C_2 = 2C_1.
Como já temos C_1=1, obtemos
C_2=2.

Passo 8

Substituir C_1=1 e C_2=2 na solução geral:
y(t)=e^{-2t}\big(\cos t + 2\sin t\big).
Opcionalmente, dá para verificar rapidamente que y(0)=e^{0}(1+0)=1 e que a expressão para y^{\prime}(0) é -2\cdot1+2=0, então as condições são satisfeitas.

Resposta

y(t)=e^{-2t}\big(\cos t + 2\sin t\big)

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