Resolva:
(d)
(d)
Passo 1
O enunciado fornece um problema inicial-value com as seguintes informações:
- Equação diferencial:
. - Condições iniciais:
e .
O que é pedido: encontrar a função
que satisfaz a equação diferencial e as duas condições iniciais.
Passo 2
Qual método usar? Aqui temos uma equação linear de ordem 2 com coeficientes constantes e homogênea. Um método padrão e direto para esse caso é assumir uma solução do tipo exponencial e resolver a equação característica. Vou explicar isso passo a passo.
Rápida aula: método da equação característica
- Para equações da forma
tenta-se uma solução . - Substituindo na equação obtém-se a equação algébrica (a equação característica)
. - As raízes
dessa quadrática determinam a forma da solução geral: - Se as raízes são reais e distintas
então . - Se as raízes são reais e iguais
então . - Se as raízes são complexas conjugadas
então a solução real geral é .
Cada constanteserá determinada pelas condições iniciais.
- Se as raízes são reais e distintas
Passo 3
Formar e resolver a equação característica para a equação dada:
Calcular o discriminante:
, que é negativo. Portanto as raízes são complexas. Calcule as raízes:
Logo
e
.
Passo 4
Aplicando a fórmula para raízes complexas conjugadas, a solução geral real é
Substituindo
e
obtemos
onde
e
são constantes a determinar pelas condições iniciais.
Passo 5
Aplicar a condição inicial
. Avaliando
:
Logo
Passo 6
Agora precisamos
. Para isso calcule
usando regra do produto e derivadas de
e
.
Começando de
, a derivada é
Calcule cada parte:
Substituindo:
Fatorando
:
Passo 7
Avalie
para usar a condição inicial
. Substituindo
em
:
Portanto
A condição diz que isso é zero, então
Como já temos
, obtemos
Passo 8
Substituir
e
na solução geral:
Opcionalmente, dá para verificar rapidamente que
e que a expressão para
é
, então as condições são satisfeitas.