Questão 3. ( 8 pontos) Considere a função f(x)=x e^-x^2 / 8.
(a) (4 pontos) Determine, se existirem, os pontos de máximo e mínimo da função f(x) em seu domínio.
(b) (4 pontos) Analise a concavidade do gráfico de f(x) e obtenha suas assíntotas horizontais, caso existam.

Passo 1

O enunciado dá a função \r
!f(x)=x e^-x^2/8 \r
definida para todo xinR. No item (a) vamos usar as derivadas primeira e segunda para achar e classificar pontos críticos (máximos e mínimos). No item (b) vamos usar a segunda derivada para estudar concavidade e limites em xtopminfty para achar assíntotas horizontais.

Passo 2

Calculamos a derivada primeira aplicando o produto: \r
\r
Para achar pontos críticos, impomos , o que dá \r

Passo 3

Para classificar usamos a segunda derivada. Derivando \r
;f'(x)=e^-x^2/8(1-tfracx^24) \r
achamos \r
\r
Em x=2: \r
;f''(2)=e^-1/2,2(4-12)16=-e^-1/2<0 \r
logo x=2 é ponto de máximo local. Em x=-2: \r
;f''(-2)=e^-1/2,-2(4-12)16=+e^-1/2>0 \r
logo x=-2 é ponto de mínimo local. Como limxtopminftyf(x)=0 e f(2)>0, f(-2)<0, esses são também máximo e mínimo globais.

Passo 4

Para a concavidade observamos o sinal de \r
;f''(x)=e^-x^2/8,x(x^2-12)16 \r
como e^-x^2/8>0, o sinal vem de x(x^2-12). Assim temos inflexão em x^2=12, i.e.\ x=pm2raiz3, e \r
  • f''(x)<0 (côncavo para baixo) em x<-!2raiz3 e 0<x<2raiz3. \r
  • f''(x)>0 (côncavo para cima) em -2raiz3<x<0 e x>2raiz3.

Passo 5

Para as assíntotas horizontais calculamos \r
;limxtoinftyx e^-x^2/8=0, limxto-inftyx e^-x^2/8=0, \r
pois a exponencial decai muito mais rápido que x cresce. Logo existe a assíntota horizontal \r
;y=0

Resposta

(a) A função tem ponto de máximo em l(2,2e^-1/2r) e ponto de mínimo em l(-2,-2e^-1/2r).
(b) O gráfico é côncavo para baixo em (-infty,-2raiz3) e (0,2raiz3), côncavo para cima em (-!2raiz3,0) e (2raiz3,infty), com pontos de inflexão em x=pm2raiz3. Há assíntota horizontal y=0.

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