Questão 3. ( 8 pontos) Considere a função
.
(a) (4 pontos) Determine, se existirem, os pontos de máximo e mínimo da função
em seu domínio.
(b) (4 pontos) Analise a concavidade do gráfico de
e obtenha suas assíntotas horizontais, caso existam.
(a) (4 pontos) Determine, se existirem, os pontos de máximo e mínimo da função
(b) (4 pontos) Analise a concavidade do gráfico de
Passo 1
O enunciado dá a função \r
definida para todo
. No item (a) vamos usar as derivadas primeira e segunda para achar e classificar pontos críticos (máximos e mínimos). No item (b) vamos usar a segunda derivada para estudar concavidade e limites em
para achar assíntotas horizontais.
Passo 2
Calculamos a derivada primeira aplicando o produto: \r
\r
Para achar pontos críticos, impomos
, o que dá \r
Passo 3
Para classificar usamos a segunda derivada. Derivando \r
achamos \r
\r
Em
: \r
logo
é ponto de máximo local. Em
: \r
logo
é ponto de mínimo local. Como
e
,
, esses são também máximo e mínimo globais.
Passo 4
Para a concavidade observamos o sinal de \r
como
, o sinal vem de
. Assim temos inflexão em
, i.e.\
, e \r
-
(côncavo para baixo) em e . \r -
(côncavo para cima) em e .
Passo 5
Para as assíntotas horizontais calculamos \r
pois a exponencial decai muito mais rápido que
cresce. Logo existe a assíntota horizontal \r
Resposta
(a) A função tem ponto de máximo em
e ponto de mínimo em
.
(b) O gráfico é côncavo para baixo em
e
, côncavo para cima em
e
, com pontos de inflexão em
. Há assíntota horizontal
.