Resolva os problemas de valor inicial a seguir.
\left{ ly^2 raiz1-x^2 d y=arcsen(x) d x,-pi2 <= x <= pi2 y(0)=1\right.

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y^2,raiz1-x^2,dy=arcsin(x),dx, -tfracpi2<= x<=tfracpi2, y(0)=1
O conteúdo é uma equação diferencial de variáveis separáveis. Vamos separar y de x, integrar cada lado e usar a condição inicial para determinar a constante de integração.

Passo 2

Separamos as variáveis, colocando todos os termos em y de um lado e os termos em x do outro:
y^2,dy=arcsin(x)raiz1-x^2,dx

Passo 3

Integramos o lado em y:
integral y^2,dy=y^33+C1

Passo 4

Para o lado em x, usamos a substituição t=arcsin(x), logo x=sin t, dx=cos t,dt e raiz1-x^2=cos t. Assim,
integral arcsin(x)raiz1-x^2,dx =integral tcos t,cos t,dt =integral t,dt =t^22+C2 =(arcsin(x))^22+C2

Passo 5

Igualando as duas integrais e juntando constantes,
y^33=(arcsin(x))^22+C
Multiplicando por 3,
y^3=l= 32(arcsin(x))^2+C',
onde C'=3C.

Passo 6

Usamos a condição inicial y(0)=1. Como arcsin(0)=0, obtemos
1^3= 32cdot0^2+C' Longrightarrow C'=1
Portanto
y^3=1+32(arcsin(x))^2,
e isolando y,
y(x)=gl[,1+32(arcsin(x))^2gr]^!1/3

Resposta

boxedy(x)=gl(1+tfrac32(arcsin(x))^2gr)^1/3, -tfracpi2<= x<=tfracpi2

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