Resolva os PVIs abaixo.
\left{ ly^prime-y=2 t e^2 t y(0)=1\right.

Passo 1

O enunciado pede para resolver o problema de valor inicial
y' - y = 2,t,e^2t, y(0)=1
Isso é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Para resolver, vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão y' + p(t),y = g(t). Aqui temos p(t)=-1 e g(t)=2t,e^2t. O fator integrante é
mu(t) = e^integral p(t),dt = e^integral -1,dt = e^-t
Multiplicando toda a equação por mu(t), obtemos
e^-ty' - e^-ty = 2t,e^2te^-t Longrightarrow ddtl(e^-tyr) = 2t,e^t

Passo 3

Integramos ambos os lados em relação a t:
integral ddtl(e^-tyr),dt = integral 2t,e^t,dt
Para integral2t,e^t,dt usamos integração por partes ( u=2t, dv=e^t dt):
integral2t,e^t,dt = 2t,e^t - integral2,e^t,dt = e^t(2t-2) + C
Logo
e^-ty = e^t(2t-2) + C

Passo 4

Isolamos y multiplicando por e^t:
y = e^2t(2t-2) + C,e^t
Agora aplicamos a condição inicial y(0)=1:
1 = y(0) = e^0(2cdot0-2) + C,e^0 = -2 + C Longrightarrow C = 3
Substituindo C na solução geral, fica
y = e^2t(2t-2) + 3,e^t

Resposta

y(t) = e^2t(2t-2) + 3,e^t

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