Questão 1: (2.5 pontos)
Considere a funçāo f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} definida por:
f(x, y)=\left\{\begin{array}{ll} \frac{2 x^{3} y}{x^{6}+3 y^{2}}, & \text { se }(x, y) \neq(0,0) \\\ \pi, & \text { se }(x, y)=(0,0) \end{array} .\right.
(a) Determine se o limite existe ou não existe, justificando sua resposta
\lim _{(x, y) \rightarrow(0,0)} \frac{2 x^{3} y}{x^{6}+3 y^{2}}
(b) f(x, y) é contínua em (0,0) ? f(x, y) é diferenciável em (0,0) ?

Passo 1

O enunciado dá a função f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\) definida por \[f(x,y)=\begin{cases} \displaystyle \frac{2x^{3}y}{x^{6}+3y^{2}}, & \text{se }(x,y)\neq(0,0),\\[6pt] \pi, & \text{se }(x,y)=(0,0). \end{cases}
As perguntas são:
  1. Determinar se existe (ou não) o limite
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2x^{3}y}{x^{6}+3y^{2}}.
  1. A partir disso: f\] é contínua em \((0,0)? f é diferenciável em (0,0)?
Eu vou trabalhar passo a passo mostrando como testar limites em \mathbb{R}^2 por caminhos e explicar definitions de continuidade e diferenciabilidade enquanto avanço.]

Passo 2

Ideia/metodologia para o item (a): em \mathbb{R}^2 um limite em (0,0) existe somente se todas as formas de aproximar (x,y) por (0,0) dão o mesmo valor. Uma técnica comum é escolher famílias de curvas que façam o numerador e denominador terem potências comparáveis em x, para obter um valor possivelmente dependente do parâmetro da curva. Aqui é natural testar curvas do tipo
y = k x^{3},
porque o denominador tem x^{6} e y^{2}: substituindo y=kx^{3} o denominador e numerador terão fator x^{6}, que pode cancelar — isso pode mostrar dependência do caminho.

Passo 3

Substituindo y=kx^{3} (com k\in\mathbb{R} fixo) no quociente, para x\neq0 obtém-se:
\frac{2x^{3}y}{x^{6}+3y^{2}}=\frac{2x^{3}\cdot (k x^{3})}{x^{6}+3(kx^{3})^{2}}=\frac{2k x^{6}}{x^{6}+3k^{2}x^{6}}.
Fatorando x^{6} no denominador (e cancelando já que x\neq0),
\frac{2k x^{6}}{x^{6}(1+3k^{2})}=\frac{2k}{1+3k^{2}}.
Portanto, ao aproximar (x,y)\to(0,0) seguindo a curva y=kx^{3}, o valor do quociente tende para a constante
\frac{2k}{1+3k^{2}}.

Passo 4

Observe que esse valor depende de k. Exemplos simples:
  • Para k=0 (linha y=0) o valor é
\frac{2\cdot 0}{1+0}=0.
  • Para k=1 (curva y=x^{3}) o valor é
\frac{2\cdot 1}{1+3}=\frac{2}{4}=\tfrac{1}{2}.
  • Para k=-1 o valor é -\tfrac{1}{2}.
Como obtivemos limites diferentes ao aproximar (0,0) por caminhos diferentes, o limite geral
\lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2x^{3}y}{x^{6}+3y^{2}}
não existe. Explicação lógica: se o limite existisse, teria de ser único e igual para todas as curvas; aqui obtemos vários valores distintos, logo não há limite.

Passo 5

Agora (b) continuidade em (0,0). Definição útil: f é contínua em (0,0) se e somente se
\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0).
Sabemos que f(0,0)=\pi. Como no passo anterior o limite \lim_{(x,y)\to(0,0)} \frac{2x^{3}y}{x^{6}+3y^{2}} não existe, não pode ser igual a \pi. Em particular, aproximando por y=0 obtemos valor 0 do quociente, e 0\neq\pi. Logo f não é contínua em (0,0).

Passo 6

Sobre diferenciabilidade em (0,0): um fato básico é que diferenciabilidade implica continuidade. Como f não é contínua em (0,0), segue imediatamente que f não é diferenciável em (0,0).
Se quiser ver de maneira ainda mais direta, podemos ver que as derivadas parciais em (0,0) nem sequer existem: por exemplo, a definição da derivada parcial em x é
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0)=\lim_{h\to 0}\frac{f(h,0)-f(0,0)}{h}.
Para h\neq0 temos f(h,0)=0 (porque y=0\Rightarrow numerador 0), então o quociente vale (0-\pi)/h=-\pi/h, que não converge quando h\to0. Portanto \partial f/\partial x(0,0) não existe; o mesmo acontece para \partial f/\partial y(0,0). Assim, definitivamente f não é diferenciável em (0,0).

Resposta

(a) O limite não existe.\n(b) f não é contínua em (0,0). f não é diferenciável em (0,0).

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