Questão 1: (2.5 pontos)
Considere a funçāo
definida por:
(a) Determine se o limite existe ou não existe, justificando sua resposta
(b)
é contínua em
?
é diferenciável em
?
Considere a funçāo
Passo 1
O enunciado dá a função
As perguntas são:
- Determinar se existe (ou não) o limite
- A partir disso:
?
é diferenciável em ?
Eu vou trabalhar passo a passo mostrando como testar limites em
por caminhos e explicar definitions de continuidade e diferenciabilidade enquanto avanço.]
Passo 2
Ideia/metodologia para o item (a): em
um limite em
existe somente se todas as formas de aproximar
por
dão o mesmo valor. Uma técnica comum é escolher famílias de curvas que façam o numerador e denominador terem potências comparáveis em
, para obter um valor possivelmente dependente do parâmetro da curva. Aqui é natural testar curvas do tipo
porque o denominador tem
e
: substituindo
o denominador e numerador terão fator
, que pode cancelar — isso pode mostrar dependência do caminho.
Passo 3
Substituindo
(com
fixo) no quociente, para
obtém-se:
Fatorando
no denominador (e cancelando já que
),
Portanto, ao aproximar
seguindo a curva
, o valor do quociente tende para a constante
Passo 4
Observe que esse valor depende de
. Exemplos simples:
- Para
(linha ) o valor é
- Para
(curva ) o valor é
- Para
o valor é .
Como obtivemos limites diferentes ao aproximar
por caminhos diferentes, o limite geral
não existe. Explicação lógica: se o limite existisse, teria de ser único e igual para todas as curvas; aqui obtemos vários valores distintos, logo não há limite.
Passo 5
Agora (b) continuidade em
. Definição útil:
é contínua em
se e somente se
Sabemos que
. Como no passo anterior o limite
não existe, não pode ser igual a
. Em particular, aproximando por
obtemos valor
do quociente, e
. Logo
não é contínua em
.
Passo 6
Sobre diferenciabilidade em
: um fato básico é que diferenciabilidade implica continuidade. Como
não é contínua em
, segue imediatamente que
não é diferenciável em
.
Se quiser ver de maneira ainda mais direta, podemos ver que as derivadas parciais em
nem sequer existem: por exemplo, a definição da derivada parcial em
é
Para
temos
(porque
numerador
), então o quociente vale
, que não converge quando
. Portanto
não existe; o mesmo acontece para
. Assim, definitivamente
não é diferenciável em
.
Resposta
(a) O limite não existe.\n(b)
não é contínua em
.
não é diferenciável em
.