Use a transforma de Laplace para resolver o problema de valor inicial dado.
3.2 y^{\prime \prime}+y=\left{\begin{array}{ll}t, & \text { se } 0 \leq t<1 \\ 0, & \text { se } 1 \leq t<\infty\end{array} ; y(0)=0, y^{\prime}(0)=0\right). Resposta: \mathcal{L}\{y(t)\}=Y(s)=\frac{1}{s^{2}\left(s^{2}+1\right)}-\frac{e^{-s}(s+1)}{s^{2}\left(s^{2}+1\right)} é a transformada de Laplace da solução do PVI. Use a transformada inversa de funções degrau para encontrar y(t).
O que se pede: usar a transformada inversa (em particular a técnica de funções degrau / deslocamento) para encontrar y(t) no domínio do tempo.
Informações relevantes que temos: a expressão de Y(s) (com uma parte multiplicada por e^{-s}), as condições iniciais nulas, e a definição da força na direita como função “ligada” só até t=1.]
Passo 2
Rápida revisão das ferramentas que vamos usar (bem mastigada):\n
A transformada de Laplace é linear: \mathcal{L}\{a f+b g\}=a\mathcal{L}\{f\}+b\mathcal{L}\{g\}. Isso nos permite decompor Y(s) e inverter termo a termo.\n
A função degrau (Heaviside) u(t-a) é definida por u(t-a)=0 se t<a e u(t-a)=1 se t\ge a. Ela serve para escrever funções que “ligam” em t=a.\n
Teorema de deslocamento (em frequência): se G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\} então
\mathcal{L}\{u(t-a)g(t-a)\}=e^{-a s}G(s).
Daí a inversa útil:
\mathcal{L}^{-1}\{e^{-a s}G(s)\}=u(t-a)\,g(t-a).
Isto significa que um fator e^{-a s} em s-espaço corresponde a “atacar” a função g a partir de t=a no domínio do tempo.
Passo 3
Separemos Y(s) em duas partes, uma sem deslocamento e outra com deslocamento: