Questão 2: (2.5 pontos)

Seja a função f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R} dada por
f(x, y)=x^{2}+y^{2}+3 x y
a) Calcule a equação do plano tangente à superfície z=f(x, y) no ponto \left(x_{0}, y_{0}\right)= (1,1).
b) Calcule a derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção do vetor unitário \mathbf{v}=\left(\frac{3}{5}, \frac{4}{5}\right).

Passo 1

O enunciado dá a função \;f:\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}\; definida por
f(x,y)=x^{2}+y^{2}+3xy
e pede duas coisas:
  1. (a) A equação do plano tangente à superfície z=f(x,y) no ponto \left(x_{0},y_{0}\right)=\left(1,1\right).
  2. (b) A derivada direcional de f no ponto \left(1,1\right) na direção do vetor unitário \mathbf{v}=\left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
f(x,y)=x^{2}+y^{2}+3xy,\qquad (x_{0},y_{0})=(1,1),\qquad \mathbf{v}=\left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right).

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f — primeiro uma explicação curta do que são:
  • A derivada parcial de f em relação a x, denotada \partial f/\partial x ou f_x, é a taxa de variação de f quando só mudamos x e mantemos y fixo.
  • Analogamente, f_y é a taxa de variação quando só mudamos y.
Para a função \;f(x,y)=x^{2}+y^{2}+3xy\;, diferenciamos termo a termo tratando a outra variável como constante:
f_x(x,y)=\frac{\partial}{\partial x}\big(x^{2}\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(y^{2}\big)+\frac{\partial}{\partial x}\big(3xy\big) =2x+0+3y,
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f_x(x,y)=2x+3y.
De forma análoga,
f_y(x,y)=\frac{\partial}{\partial y}\big(x^{2}\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(y^{2}\big)+\frac{\partial}{\partial y}\big(3xy\big) =0+2y+3x,
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f_y(x,y)=2y+3x.
Agora avaliamos as parciais no ponto \left(1,1\right):
f_x(1,1)=2\cdot1+3\cdot1=2+3=5,
f_y(1,1)=2\cdot1+3\cdot1=2+3=5.
Também calculamos o valor da função no ponto, pois será necessário para o plano tangente:
f(1,1)=1^{2}+1^{2}+3\cdot1\cdot1=1+1+3=5.

Passo 3

Fórmula do plano tangente: para uma superfície z=f(x,y) o plano tangente em (x_{0},y_{0},z_{0}) com z_{0}=f(x_{0},y_{0}) é dado pela aproximação linear
z = f(x_{0},y_{0}) + f_x(x_{0},y_{0})\,(x-x_{0}) + f_y(x_{0},y_{0})\,(y-y_{0}).
Aqui, cada termo significa:
  • f(x_{0},y_{0}) é o valor da superfície no ponto de tangência;
  • f_x(x_{0},y_{0}) e f_y(x_{0},y_{0}) são as inclinações (taxas) nas direções x e y;
  • (x-x_{0}) e (y-y_{0}) medem o pequeno deslocamento no plano xy.
Substituindo os valores que calculamos: f(1,1)=5, f_x(1,1)=5, f_y(1,1)=5, x_{0}=1, y_{0}=1:
z = 5 + 5(x-1) + 5(y-1).
Simplificando:
z = 5 + 5x -5 + 5y -5 = 5x + 5y -5.
Portanto a equação do plano tangente é \;z=5x+5y-5\;.

Passo 4

Agora a derivada direcional. Primeiro algumas ideias:
  • A derivada direcional de f no ponto (x_{0},y_{0}) na direção de um vetor unitário \mathbf{u}=(u_{1},u_{2}) mede a taxa de variação de f quando nos movemos a partir do ponto na direção de \mathbf{u}, por unidade de comprimento.
  • Uma forma prática e muito usada é: a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de f e o vetor unitário da direção:
D_{\mathbf{u}}f(x_{0},y_{0})=\nabla f(x_{0},y_{0})\cdot\mathbf{u}.
  • O gradiente \nabla f é o vetor das derivadas parciais: \nabla f=(f_x,f_y). Ele aponta na direção de maior crescimento de f e seu comprimento é a taxa máxima de crescimento.
Calculamos o gradiente no ponto usando as parciais do Passo 2:
\nabla f(1,1) = \big(f_x(1,1),\,f_y(1,1)\big) = (5,5).
Verificamos que o vetor dado é unitário (o enunciado já disse que é unitário, mas é bom checar):
\|\mathbf{v}\|=\sqrt{\left(\tfrac{3}{5}\right)^{2}+\left(\tfrac{4}{5}\right)^{2}} =\sqrt{\tfrac{9}{25}+\tfrac{16}{25}}=\sqrt{\tfrac{25}{25}}=1.
Agora a derivada direcional é o produto escalar:
D_{\mathbf{v}}f(1,1)=\nabla f(1,1)\cdot\mathbf{v}=(5,5)\cdot\left(\tfrac{3}{5},\tfrac{4}{5}\right).
Calculando o produto escalar:
D_{\mathbf{v}}f(1,1)=5\cdot\tfrac{3}{5}+5\cdot\tfrac{4}{5}=3+4=7.
Uma observação prática para a prova: você também poderia usar diretamente a fórmula D_{\mathbf{v}}f=f_x(1,1)\,v_1 + f_y(1,1)\,v_2 (é a mesma coisa), ou, se o vetor não fosse unitário, primeiro normalizá-lo dividindo pelo seu comprimento.

Resposta

z=5x+5y-5
7

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