Questão 2: (2.5 pontos)
Seja a função
dada por
a) Calcule a equação do plano tangente à superfície
no ponto
.
b) Calcule a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor unitário
.
b) Calcule a derivada direcional de
Passo 1
O enunciado dá a função
definida por
e pede duas coisas:
- (a) A equação do plano tangente à superfície
no ponto . - (b) A derivada direcional de
no ponto na direção do vetor unitário .
Informações relevantes extraídas do enunciado:
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
— primeiro uma explicação curta do que são:
- A derivada parcial de
em relação a , denotada ou , é a taxa de variação de quando só mudamos e mantemos fixo. - Analogamente,
é a taxa de variação quando só mudamos .
Para a função
, diferenciamos termo a termo tratando a outra variável como constante:
logo
De forma análoga,
logo
Agora avaliamos as parciais no ponto
:
Também calculamos o valor da função no ponto, pois será necessário para o plano tangente:
Passo 3
Fórmula do plano tangente: para uma superfície
o plano tangente em
com
é dado pela aproximação linear
Aqui, cada termo significa:
-
é o valor da superfície no ponto de tangência; -
e são as inclinações (taxas) nas direções e ; -
e medem o pequeno deslocamento no plano .
Substituindo os valores que calculamos:
,
,
,
,
:
Simplificando:
Portanto a equação do plano tangente é
.
Passo 4
Agora a derivada direcional. Primeiro algumas ideias:
- A derivada direcional de
no ponto na direção de um vetor unitário mede a taxa de variação de quando nos movemos a partir do ponto na direção de , por unidade de comprimento. - Uma forma prática e muito usada é: a derivada direcional é o produto escalar entre o gradiente de
e o vetor unitário da direção:
- O gradiente
é o vetor das derivadas parciais: . Ele aponta na direção de maior crescimento de e seu comprimento é a taxa máxima de crescimento.
Calculamos o gradiente no ponto usando as parciais do Passo 2:
Verificamos que o vetor dado é unitário (o enunciado já disse que é unitário, mas é bom checar):
Agora a derivada direcional é o produto escalar:
Calculando o produto escalar:
Uma observação prática para a prova: você também poderia usar diretamente a fórmula
(é a mesma coisa), ou, se o vetor não fosse unitário, primeiro normalizá-lo dividindo pelo seu comprimento.